Sendo 
  e 120 o ângulo entre os vetores 
  e 
 , calcular: 
c) O volume do paralelepípedo determinado por 
 .
c) O volume do paralelepípedo determinado por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, 
  e 
 , com magnitudes 
  e 
 . O ângulo entre eles é de 120 graus. A primeira parte nos pede para calcular 
 , e a parte c) quer o volume do paralelepípedo formado por 
 , 
  e 
 . Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e cálculo de volume de paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular 
 . Subtrair vetores é simples: subtraímos componente a componente, mas como não temos as componentes específicas, vamos trabalhar com as magnitudes e o ângulo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto vetorial 
 . Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores 
  e 
  é dado por:
onde 
  é o ângulo entre 
  e 
 .
Passo 4
Vamos determinar o vetor 
 . A magnitude de 
  pode ser encontrada usando a lei do cosseno:
Aqui, ajustamos o ângulo porque estamos subtraindo 
  de 
 .
Passo 5
Sabemos que 
 , então 
 . Vamos substituir:
Passo 6
Agora, calculamos 
  usando a fórmula do produto vetorial:
onde 
  é o ângulo entre 
  e 
 . Como 
  está resultante de subtrair 
  de 
 , o ângulo 
  é o mesmo que o ângulo entre 
  e 
 , que é 120°.
Passo 7
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado por 
 , 
  e 
 . O volume 
  de um paralelepípedo formado por três vetores 
 , 
  e 
  é dado pelo valor absoluto do triplamente produto escalar:
No nosso caso, 
 , 
  e 
 .
Passo 9
Calculando o triplamente produto:
Sabemos que 
 , então:
Passo 10
Primeiro, vamos encontrar 
 :
Então, o volume é:
Resposta
O volume do paralelepípedo determinado por 
 , 
  e 
  é igual a 108 unidades cúbicas.