Sendo
e
vetores não paralelos, e
mostre que
e
são ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores,
e
, que não são paralelos e que a magnitude de
é o dobro da magnitude de
, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que os vetores
e
são ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja, se tivermos dois vetores
e
, eles são ortogonais se:
Então, para mostrar que
e
são ortogonais, precisamos provar que o produto escalar desses dois vetores é zero.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de
e
. Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Vamos expandir isso passo a passo.
Passo 4
Expandindo o produto escalar:
Simplificando cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Perceba que os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 5
Agora, vamos usar a informação dada no enunciado:
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Substituindo esse valor na expressão anterior:
Resposta
Como o produto escalar de
e
deu zero, concluímos que esses vetores são ortogonais.