1. O que é Sequência de Farey? Qual é a Sequência de Farey de ordem 6?

Passo 1

O enunciado pede para a gente entender o que é a sequência de Farey e, em seguida, construir a sequência de Farey de ordem 6. Este conteúdo faz parte de teoria de números, mais precisamente do estudo de frações em ordem crescente.

Passo 2

A sequência de Farey de ordem n, denotada por F_n, é definida como o conjunto de todas as frações \tfrac{a}{b} tais que
  1. 0 \le a \le b \le n,
  2. \gcd(a,b)=1 (ou seja, a fração está na forma irredutível),
    ordenadas em ordem crescente de valor. Por construção inclui sempre \tfrac{0}{1} e \tfrac{1}{1}.

Passo 3

Para aplicar essa definição em n=6, listamos todas as frações \tfrac{a}{b} com 0\le a\le b\le6 e \gcd(a,b)=1. Para cada denominador b:
b =1: \tfrac{0}{1},\,\tfrac{1}{1}
b =2: \tfrac{1}{2}
b =3: \tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}
b =4: \tfrac{1}{4},\,\tfrac{3}{4}
b =5: \tfrac{1}{5},\,\tfrac{2}{5},\,\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}
b =6: \tfrac{1}{6},\,\tfrac{5}{6}

Passo 4

Agora basta ordenar essas frações em ordem crescente de valor. Ao comparar, por exemplo, \tfrac{1}{6}\approx0,1667, \tfrac{1}{5}=0,2, \tfrac{1}{4}=0,25, etc., chegamos à sequência completa.

Resposta

A sequência de Farey de ordem 6 é
F_{6}=\left\{\frac{0}{1},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{1}{1}\right\}.

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