A sequência (x, y, z) é uma progressão geométrica em que x + y = 1 e y + z = 9. Calcule a razão desta progressão geométrica.
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é uma progressão geométrica (PG) com os termos $ x, y, z $. Também sabemos que $ x + y = 1 $ e $ y + z = 9 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão dessa PG. Para resolver isso, vamos usar o conceito de progressão geométrica, que é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma PG, a relação entre os termos é dada pela razão $ r $. Então, podemos expressar $ y $ e $ z $ em termos de $ x $ e $ r $:
r
y

Passo 3

Agora, vamos usar as duas equações que a gente tem:
  1. $ x + y = 1 $
  2. $ y + z = 9 $
Substituindo $ y $ e $ z $ pelas expressões em termos de $ x $ e $ r $:
x + y = 1 çã
y + z = 9 çã

Passo 4

Vamos simplificar a Equação 1 para encontrar $ x $ em função de $ r $:
x

Passo 5

Agora, substituímos $ x $ na Equação 2:
x
11 + r cdot r + 11 + r cdot r^2 = 9

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por $ 1 + r $ para eliminar o denominador:
1 + r
r + r^2 = 9 (1 + r)

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
r^2 + r - 9 - 9r = 0
r^2 - 8r - 9 = 0

Passo 8

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 1 cdot (-9)2 cdot 1
r = 8 pm raiz64 + 362
r = 8 pm raiz1002
r = 8 pm 102
Então, temos duas soluções:
r = 182 = 9 ou r = -22 = -1

Resposta

A razão da progressão geométrica é 9.

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