A sequência (x, y, z) é uma progressão geométrica em que x + y = 1 e y + z = 9. Calcule a razão desta progressão geométrica.
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é uma progressão geométrica (PG) com os termos $ x, y, z $. Também sabemos que $ x + y = 1 $ e $ y + z = 9 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão dessa PG. Para resolver isso, vamos usar o conceito de progressão geométrica, que é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma PG, a relação entre os termos é dada pela razão $ r $. Então, podemos expressar $ y $ e $ z $ em termos de $ x $ e $ r $:
Passo 3
Agora, vamos usar as duas equações que a gente tem:
- $ x + y = 1 $
- $ y + z = 9 $
Substituindo $ y $ e $ z $ pelas expressões em termos de $ x $ e $ r $:
Passo 4
Vamos simplificar a Equação 1 para encontrar $ x $ em função de $ r $:
Passo 5
Agora, substituímos $ x $ na Equação 2:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por $ 1 + r $ para eliminar o denominador:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Passo 8
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Resposta
A razão da progressão geométrica é 9.