As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
a_{n}=\arctan \left(\ln \left(\frac{e+n}{n}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\arctan\!\left(\ln\!\left(\frac{e+n}{n}\right)\right)
e pede para calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão dentro do \ln é \dfrac{e+n}{n}.
  • As funções envolvidas são \ln(\cdot) e \arctan(\cdot).

Passo 2

Simplificar a expressão dentro do logaritmo para tornar o limite mais claro. Fazer divisão por n:
\frac{e+n}{n}=1+\frac{e}{n}.
Portanto
a_n=\arctan\!\big(\ln\!\big(1+\tfrac{e}{n}\big)\big).

Passo 3

Calcular \lim_{n\to\infty}\frac{e}{n}. Usar propriedades de limite: fator constante sai do limite. Como já se sabe (e aqui vai uma pequena demonstração por \varepsilon) que \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{e}{n}=e\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=e\cdot 0=0.
Eis a demonstração rápida de \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0: dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>1/\varepsilon. Para todo n\ge N vale
\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon,
o que mostra o limite.

Passo 4

Usar a propriedade de limite da soma/constante: de \frac{e+n}{n}=1+\frac{e}{n} e do passo anterior segue
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{e}{n}\right)=1+0=1.

Passo 5

Aplicar continuidade da função \ln em 1. A função \ln é contínua em todos os reais positivos, portanto, pela propriedade de composição de limites, se x_n\to1 então \ln(x_n)\to\ln(1). Assim
\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{e}{n}\right)=\ln(1)=0.

Passo 6

Aplicar continuidade da função \arctan em 0. A função \arctan é contínua em \mathbb{R}, então, novamente pela propriedade de composição, de
\ln(1+\tfrac{e}{n})\to 0 segue
\lim_{n\to\infty}\arctan\!\big(\ln\!\big(1+\tfrac{e}{n}\big)\big)=\arctan(0)=0.

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