As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno). a_{n}=\arctan \left(\ln \left(\frac{e+n}{n}\right)\right)
Calcular \lim_{n\to\infty}\frac{e}{n}. Usar propriedades de limite: fator constante sai do limite. Como já se sabe (e aqui vai uma pequena demonstração por \varepsilon) que \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, então
Eis a demonstração rápida de \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0: dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>1/\varepsilon. Para todo n\ge N vale
Aplicar continuidade da função \ln em 1. A função \ln é contínua em todos os reais positivos, portanto, pela propriedade de composição de limites, se x_n\to1 então \ln(x_n)\to\ln(1). Assim
Aplicar continuidade da função \arctan em 0. A função \arctan é contínua em \mathbb{R}, então, novamente pela propriedade de composição, de \ln(1+\tfrac{e}{n})\to 0 segue