7. O que seria fator de empacotamento atômico de uma célula cristalina básica?

O fator de empacotamento (FEA) representa a ocupação do volume dos átomos em relação ao volume da célula. Ele representa a eficiência da estrutura de modo que quanto maior o FEA (menos espaço vazio e mais preenchimento), maior a coesão, condutividade e eficiência da estrutura. Para arranjo cúbico de face centrada por exemplo, tem-se um FEA de 0,74 , o que é um valor bastante eficiente. \mathrm{FEA}=\frac{\text { VOL }_{\text {ÁTOMOS }}}{\text { VOL }_{\text {CÉLULA }}}ÁÉ.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o fator de empacotamento atômico (FEA) de uma célula cristalina básica. Esse conceito faz parte de cristalografia e mede quão “apertados” os átomos ficam dentro de uma célula unitária cristalina, comparando o volume ocupado pelos átomos com o volume total da célula.

Passo 2

Para definir o FEA, modelamos cada átomo como uma esfera de raio r. O volume de uma esfera é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3.
Em uma célula unitária, existem n átomos efetivos (depende do tipo de empacotamento: simples, Cúbica de Corpo Centrado, Cúbica de Faces Centradas etc.). O volume total dos átomos na célula é
V_{\text{átomos}} = n \times \frac{4}{3}\pi r^3.á

Passo 3

O volume da célula unitária cúbica é dado pelo parâmetro de rede a. Para um empacotamento onde as esferas se tocam ao longo da aresta, tem-se a = 2r, de modo que
V_{\text{célula}} = a^3 = (2r)^3 = 8r^3.é
Em estruturas mais compactas (por exemplo cúbica de faces centradas), o contato ocorre na diagonal da face e a = \frac{4r}{\sqrt{2}}, mas o procedimento de obter V_{\text{célula}}é segue o mesmo princípio: é o cubo do parâmetro de rede.

Passo 4

O fator de empacotamento atômico é então a razão entre esses volumes:
\mathrm{FEA} = \frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}} = \frac{n \,\frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}.áé
Esse número varia conforme o empacotamento: por exemplo, para cúbica de faces centradas (onde n=4 e a=\tfrac{4r}{\sqrt2}) obtém-se
\mathrm{FEA}_{\mathrm{CFC}} = 0{,}74.
Quanto maior o FEA, menor o espaço vazio na estrutura e melhores tendem a ser coesão e condutividade.

Resposta

O fator de empacotamento atômico é a fração do volume da célula unitária ocupado pelos átomos, dado por
\mathrm{FEA} = \frac{\text{volume total das esferas atômicas na célula}}{\text{volume da célula unitária}}.ôééá
Ele indica a eficiência do empacotamento: valores típicos são 0{,}52 para cúbica simples, 0{,}68 para cúbica de corpo centrado e 0{,}74 para cúbica de faces centradas.

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