A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n)} converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge? Apresente todos os testes e justificativas.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}
e decidir se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Conteúdo: Séries numéricas, teste da série absoluta (teste da integral ou de condensação) e teste da série alternada (Leibniz).

Passo 2

Testando a convergência absoluta, examinamos
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}\right| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)}.
Usamos o teste da integral. Considere a função f(x)=1/\ln(x) para x\ge2. Então
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\ln(x)}
é conhecido como integral do logaritmo e diverge (por exemplo, comparando com \int_{2}^{\infty}1/x\,dx ou usando que \int_{a}^{\infty}1/\ln(x)\,dx cresce sem limite). Logo a série de termos positivos \sum1/\ln(n) diverge, o que implica que a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Testando a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Defina
a_{n}=\frac{1}{\ln(n)},\quad b_{n}=(-1)^{n}.
Verificamos que para n\ge3:
  1. a_{n}>0.
  2. a_{n} é monótona decrescente, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{\ln(x)}\bigr)=-\frac{1}{x[\ln(x)]^{2}}<0\quad\text{para }x>1.
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{\ln(n)}=0.
    Pelo teste de Leibniz, a série alternada \sum(-1)^{n}a_{n} converge.

Resposta

A série não converge absolutamente e, pelo teste de série alternada, converge condicionalmente. Portanto, ela converge condicionalmente.

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