A série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n)} converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge? Apresente todos os testes e justificativas.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}
e decidir se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Conteúdo: Séries numéricas, teste da série absoluta (teste da integral ou de condensação) e teste da série alternada (Leibniz).
Usamos o teste da integral. Considere a função f(x)=1/\ln(x) para x\ge2. Então
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\ln(x)}
é conhecido como integral do logaritmo e diverge (por exemplo, comparando com \int_{2}^{\infty}1/x\,dx ou usando que \int_{a}^{\infty}1/\ln(x)\,dx cresce sem limite). Logo a série de termos positivos \sum1/\ln(n) diverge, o que implica que a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Testando a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Defina