Dê a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0, indicando os intervalos de convergência. f(x)=\sin \left(x^{2}\right)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin de f) e indicar os intervalos de convergência.
Informações dadas: a função é f(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr) e o centro é x_{0}=0. Não há outras condições escondidas.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula usada): a função \sin u tem a série de Maclaurin conhecida
\sin u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!},
onde u é uma variável (aqui u representa qualquer argumento da função seno). Essa fórmula vem de desenvolver a série de Taylor de \sin u em torno de u=0; a ideia é que os coeficientes são dados por \sin^{(k)}(0)/k!, e isso resulta no padrão alternado com potências ímpares. Cada símbolo significa: n é o índice da soma, (2n+1)! é o fatorial, e o sinal (-1)^n alterna os sinais dos termos.
Passo 3
Agora fazemos a substituição u=x^{2} diretamente na série de \sin u. Substituindo:
Isso explica a forma geral: só aparecem potências x^{4n+2} (ou seja, 2,6,10,\dots) e os denominadores são os fatoriais ímpares (2n+1)!.
Passo 4
Checagem rápida por derivadas (confirmando os primeiros coeficientes):
Calculemos algumas derivadas em 0 para ver que a expansão bate com coeficientes:
O termo de ordem x^{2} na série de Taylor é \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}=\dfrac{2}{2}x^{2}=x^{2}, que coincide com o primeiro termo da série encontrada. Isso é só uma verificação local que a substituição está coerente.
Passo 5
Análise de convergência (teste da razão): considere o termo geral
para todo x fixo (pois o denominador cresce sem limite). Como o limite da razão é 0<1 para qualquer x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Em termos práticos: a série tem raio de convergência infinito, isto é, o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).
Passo 6
Resumo final e fórmula conveniente para usar na prova: a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=\sin(x^{2}) é