Dê a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0, indicando os intervalos de convergência.
f(x)=\sin \left(x^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin de f) e indicar os intervalos de convergência.
Informações dadas: a função é f(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr) e o centro é x_{0}=0. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula usada): a função \sin u tem a série de Maclaurin conhecida
\sin u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!},
onde u é uma variável (aqui u representa qualquer argumento da função seno). Essa fórmula vem de desenvolver a série de Taylor de \sin u em torno de u=0; a ideia é que os coeficientes são dados por \sin^{(k)}(0)/k!, e isso resulta no padrão alternado com potências ímpares. Cada símbolo significa: n é o índice da soma, (2n+1)! é o fatorial, e o sinal (-1)^n alterna os sinais dos termos.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=x^{2} diretamente na série de \sin u. Substituindo:
\sin\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Simplificando a potência (x^{2})^{2n+1}: (x^{2})^{2n+1}=x^{4n+2}. Assim obtemos
\sin\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.
É útil ver os primeiros termos explícitos para “sentir” a série:
\sin\bigl(x^{2}\bigr)=x^{2}-\frac{x^{6}}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\cdots.
Isso explica a forma geral: só aparecem potências x^{4n+2} (ou seja, 2,6,10,\dots) e os denominadores são os fatoriais ímpares (2n+1)!.

Passo 4

Checagem rápida por derivadas (confirmando os primeiros coeficientes):
Calculemos algumas derivadas em 0 para ver que a expansão bate com coeficientes:
f(x)=\sin(x^{2}),
f'(x)=2x\cos(x^{2})\quad\Rightarrow\quad f'(0)=0,
f''(x)=2\cos(x^{2})-4x^{2}\sin(x^{2})\quad\Rightarrow\quad f''(0)=2.
O termo de ordem x^{2} na série de Taylor é \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}=\dfrac{2}{2}x^{2}=x^{2}, que coincide com o primeiro termo da série encontrada. Isso é só uma verificação local que a substituição está coerente.

Passo 5

Análise de convergência (teste da razão): considere o termo geral
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Aplicando o teste da razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\frac{|x|^{4(n+1)+2}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{|x|^{4n+2}} =\frac{|x|^{4}}{(2n+3)(2n+2)}.
Ao fazer n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=0
para todo x fixo (pois o denominador cresce sem limite). Como o limite da razão é 0<1 para qualquer x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Em termos práticos: a série tem raio de convergência infinito, isto é, o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Passo 6

Resumo final e fórmula conveniente para usar na prova: a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=\sin(x^{2}) é
\sin\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}
e essa série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \sin\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}=x^{2}-\frac{x^{6}}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\cdots\n
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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