Para quais séries abaixo o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta sobre a convergência)? Para estas séries, existe algum outro teste que é conclusivo para a convergência?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Teste da Razão em cada série e identificar para quais casos ele não decide a convergência. Quando o teste da razão dá
, ele é inconclusivo e precisamos usar outro critério (por exemplo, o teste da série-
ou o teste de comparação).
Passo 2
Série (a):
.
Aplicando o Teste da Razão:
Aplicando o Teste da Razão:
Como
, o teste da razão é inconclusivo. Podemos então usar o teste da série-
: aqui
, logo
converge.
Passo 3
Série (b):
.
Aplicando o Teste da Razão:
Aplicando o Teste da Razão:
Como
, o teste da razão conclui que a série converge absolutamente. Não precisamos de outro teste.
Passo 4
Série (c):
.
Olhemos a série dos valores absolutos . Pelo Teste da Razão:
Olhemos a série dos valores absolutos
Como
, conclui-se que
diverge, logo a série original diverge. É um caso conclusivo.
Passo 5
Série (d):
.
Teste da Razão:
Teste da Razão:
Como
, o teste da razão é inconclusivo. Usamos então o teste da comparação limite com
, sabendo que
converge (
):
Como esse limite é finito e não nulo,
converge junto com
.
Resposta
As séries para as quais o Teste da Razão é inconclusivo são
(a) , que converge pelo teste da série-
com
;
(d) , que converge pelo teste de comparação limite com
.
(a)
(d)