Para quais séries abaixo o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta sobre a convergência)? Para estas séries, existe algum outro teste que é conclusivo para a convergência?
a)
sumn=1^infty 1n^3
b) sumn=1^infty n2^n
c) sumn=1^infty (-3)^n-1raizn
d) sumn=1^infty raizn1+n^2

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Razão em cada série e identificar para quais casos ele não decide a convergência. Quando o teste da razão dá L=1, ele é inconclusivo e precisamos usar outro critério (por exemplo, o teste da série- p ou o teste de comparação).

Passo 2

Série (a): sumn=1^infty1n^3.
Aplicando o Teste da Razão:
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)^-3n^-3 =limntoinftyl(nn+1r)^3 =1
Como L=1, o teste da razão é inconclusivo. Podemos então usar o teste da série- p: aqui p=3>1, logo sum 1/n^3 converge.

Passo 3

Série (b): sumn=1^inftyn2^n.
Aplicando o Teste da Razão:
L=limntoinfty(n+1)/2^,n+1n/2^n =limntoinftyn+12n =tfrac12<1
Como L<1, o teste da razão conclui que a série converge absolutamente. Não precisamos de outro teste.

Passo 4

Série (c): sumn=1^infty(-3)^n-1raizn.
Olhemos a série dos valores absolutos an=3^n-1/raizn. Pelo Teste da Razão:
L=limntoinfty3^n/raizn+13^n-1/raizn =3limntoinftyraiznn+1 =3>1
Como L>1, conclui-se que sum |an| diverge, logo a série original diverge. É um caso conclusivo.

Passo 5

Série (d): sumn=1^inftyraizn1+n^2.
Teste da Razão:
L=limntoinftyraizn+1/(1+(n+1)^2)raizn/(1+n^2) =limntoinftyraizn+1raizncdot1+n^21+n^2+2n+1 =1
Como L=1, o teste da razão é inconclusivo. Usamos então o teste da comparação limite com bn=1/n^3/2, sabendo que sum bn converge ( p=3/2>1):
limntoinftyanbn =limntoinftyraizn/(1+n^2)n^-3/2 =limntoinftyn^21+n^2 =1
Como esse limite é finito e não nulo, sum an converge junto com sum bn.

Resposta

As séries para as quais o Teste da Razão é inconclusivo são
(a) sum 1n^3, que converge pelo teste da série- p com p=3;
(d) sum raizn1+n^2, que converge pelo teste de comparação limite com sum 1/n^3/2.

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