Sete pontos são selecionados dentro de um retângulo
. Prove que há dois desses pontos cuja
distância é no máximo
.
distância é no máximo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer escolha de
pontos dentro de um retângulo de dimensões
, existem dois pontos cuja distância é no máximo
. O conteúdo principal é o princípio da casa dos pombos aplicado a uma partição em sub-regiões de diâmetro controlado.
Passo 2
Vamos dividir o retângulo original, de altura
e largura
, em
linhas horizontais de altura
e
colunas verticais de largura
. Isso gera
sub-retângulos congruentes, cada um com dimensões
.
Passo 3
Em qualquer sub-retângulo de dimensões
, a maior distância entre dois pontos é a diagonal, cujo comprimento é
Logo, dois pontos situados no mesmo sub-retângulo estão separados por no máximo
.
Passo 4
Aplicando o princípio da casa dos pombos: ao colocar
pontos em
sub-retângulos, ao menos um sub-retângulo conterá pelo menos dois pontos. Esses dois pontos têm distância no máximo
, como vimos no passo anterior.
Resposta
Existem sempre dois pontos cuja distância é no máximo
.