Sete pontos são selecionados dentro de um retângulo 3 \times 4. Prove que há dois desses pontos cuja
distância é no máximo \sqrt{5}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer escolha de 7 pontos dentro de um retângulo de dimensões 3\times 4, existem dois pontos cuja distância é no máximo \sqrt{5}. O conteúdo principal é o princípio da casa dos pombos aplicado a uma partição em sub-regiões de diâmetro controlado.

Passo 2

Vamos dividir o retângulo original, de altura 3 e largura 4, em 3 linhas horizontais de altura 1 e 2 colunas verticais de largura 2. Isso gera 3\times 2=6 sub-retângulos congruentes, cada um com dimensões 1\times 2.

Passo 3

Em qualquer sub-retângulo de dimensões 1\times 2, a maior distância entre dois pontos é a diagonal, cujo comprimento é \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}. Logo, dois pontos situados no mesmo sub-retângulo estão separados por no máximo \sqrt{5}.

Passo 4

Aplicando o princípio da casa dos pombos: ao colocar 7 pontos em 6 sub-retângulos, ao menos um sub-retângulo conterá pelo menos dois pontos. Esses dois pontos têm distância no máximo \sqrt{5}, como vimos no passo anterior.

Resposta

Existem sempre dois pontos cuja distância é no máximo \sqrt{5}.

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