1.1.1.8. Show de mágica:
Um mágico está preparando um show que vai apresentar na festa de final de ano da escola. Seis mágicas diferentes,
e F , serão apresentadas no show. Cada mágica vai ser apresentada uma única vez, e as seguintes condições serão obedecidas:
- Pelo menos duas mágicas são apresentadas após F ser apresentada, mas antes de D ser apresentada (ou seja, pelo menos duas mágicas são apresentadas entre a apresentação de F e a apresentação de D).
- Exatamente um mágica é apresentada após A , mas antes de E ser apresentada (ou seja, exatamente um mágica é apresentada entre a apresentação de A e a apresentação de E).
- B é a primeira, a terceira ou a quinta mágica a ser apresentada.
Passo 1
O enunciado nos dá seis mágicas distintas:
. Cada mágica aparece exatamente uma vez nas posições
. As condições são:
- Após
e antes de existem pelo menos duas mágicas. Ou seja, aparece antes de e a diferença de posições satisfaz . - Exatamente uma mágica é apresentada após
e antes de . Ou seja, aparece antes de e . -
está na posição , ou .
A pergunta (assumida como usual neste tipo de problema) é: quantas ordens possíveis das seis mágicas satisfazem todas as condições acima?
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando de forma simples): vou fixar a posição de
em cada uma das três opções permitidas (
) e, para cada caso, contar todas as ordenações válidas das demais mágicas que obedecem às duas restrições restantes. Isso funciona bem porque
tem poucas posições permitidas; para cada posição de
tratamos um problema de posicionamento em um conjunto de
posições restantes.
Observação sobre contagem: depois de escolher posições válidas para
(respeitando as restrições), sobra exatamente uma posição para a mágica que restar (
), então não há fatores adicionais de permutação a multiplicar — cada escolha válida de posições define uma ordem única.
Passo 3
Caso
na posição
.
As posições restantes são
.
Procuramos pares com
e ambos em
.
As opções possíveis são:
Procuramos pares
As opções possíveis são:
-
. -
. -
.
Para cada opção, contamos pares
distintos em
com
.
- Se
então . Possíveis : -
permite em , logo é a única escolha. Resultado: 1 opção .
-
- Se
então . Possíveis : -
permite ; em só . Resultado: 1 opção .
-
- Se
então . Possíveis : -
permite ; em só . Resultado: 1 opção .
-
Cada escolha acima determina também a posição da mágica restante (
). Assim, para
em
há no total
ordenações válidas.
Passo 4
Resumo do caso
: total de ordenações =
.
Passo 5
Caso
na posição
.
As posições restantes são
.
Opções para com
e ambas em
:
Opções para
-
. -
.
(Escolherdaria que é , não permitido; daria fora do intervalo.)
Para cada opção, conte
em
com
.
- Se
então . -
permite ; em pode ser ou . Isso dá e . -
ou não permitem em com diferença .
Resultado: 2 opções.
-
- Se
então . -
permite ; em é válido . -
permite ; em é válido . -
não permite em .
Resultado: 2 opções.
-
Total para
em
=
ordenações válidas.
Passo 6
Resumo do caso
: total de ordenações =
.
Passo 7
Caso
na posição
.
As posições restantes são
.
Opções para com
e ambas em
:
Opções para
-
. -
. -
.
Para cada opção, conte
em
com
.
- Se
então . -
permite ; em só . Logo é a única opção.
-
- Se
então . -
permite ; em é possível . -
permite ; em é possível .
Resultado: 2 opções.
-
- Se
então . - Nenhum
admite com diferença (pois máximos estão muito próximos). Resultado: 0 opções.
- Nenhum
Total para
em
=
ordenações válidas.
Passo 8
Resumo do caso
: total de ordenações =
.
Passo 9
Soma final: somando os três casos de
obtemos
(para
)
(para
)
(para
)
.
Portanto há exatamente
ordens possíveis que obedecem a todas as condições.
Resposta
10