1.1.1.8. Show de mágica:

Um mágico está preparando um show que vai apresentar na festa de final de ano da escola. Seis mágicas diferentes, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E} e F , serão apresentadas no show. Cada mágica vai ser apresentada uma única vez, e as seguintes condições serão obedecidas:
  • Pelo menos duas mágicas são apresentadas após F ser apresentada, mas antes de D ser apresentada (ou seja, pelo menos duas mágicas são apresentadas entre a apresentação de F e a apresentação de D).
  • Exatamente um mágica é apresentada após A , mas antes de E ser apresentada (ou seja, exatamente um mágica é apresentada entre a apresentação de A e a apresentação de E).
  • B é a primeira, a terceira ou a quinta mágica a ser apresentada.

Passo 1

O enunciado nos dá seis mágicas distintas: A,B,C,D,E,F. Cada mágica aparece exatamente uma vez nas posições 1,\dots,6. As condições são:
  • Após F e antes de D existem pelo menos duas mágicas. Ou seja, F aparece antes de D e a diferença de posições satisfaz \text{pos}(D)-\text{pos}(F)\ge 3.
  • Exatamente uma mágica é apresentada após A e antes de E. Ou seja, A aparece antes de E e \text{pos}(E)-\text{pos}(A)=2.
  • B está na posição 1, 3 ou 5.
A pergunta (assumida como usual neste tipo de problema) é: quantas ordens possíveis das seis mágicas satisfazem todas as condições acima?

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando de forma simples): vou fixar a posição de B em cada uma das três opções permitidas ( 1,3,5) e, para cada caso, contar todas as ordenações válidas das demais mágicas que obedecem às duas restrições restantes. Isso funciona bem porque B tem poucas posições permitidas; para cada posição de B tratamos um problema de posicionamento em um conjunto de 5 posições restantes.
Observação sobre contagem: depois de escolher posições válidas para A,E,F,D (respeitando as restrições), sobra exatamente uma posição para a mágica que restar ( C), então não há fatores adicionais de permutação a multiplicar — cada escolha válida de posições define uma ordem única.

Passo 3

Caso B na posição 1.
As posições restantes são S=\{2,3,4,5,6\}.
Procuramos pares (\text{pos}(A),\text{pos}(E)) com \text{pos}(E)=\text{pos}(A)+2 e ambos em S.
As opções possíveis são:
  • \text{pos}(A)=2,\\ \text{pos}(E)=4.
  • \text{pos}(A)=3,\\ \text{pos}(E)=5.
  • \text{pos}(A)=4,\\ \text{pos}(E)=6.
Para cada opção, contamos pares (\text{pos}(F),\text{pos}(D)) distintos em R=S\setminus\{\text{pos}(A),\text{pos}(E)\} com \text{pos}(D)-\text{pos}(F)\ge 3.
  • Se (A,E)=(2,4) então R=\{3,5,6\}. Possíveis (F,D):
    • F=3 permite D\ge 6 em R, logo D=6 é a única escolha. Resultado: 1 opção (3,6).
  • Se (A,E)=(3,5) então R=\{2,4,6\}. Possíveis (F,D):
    • F=2 permite D\ge 5; em R D=6. Resultado: 1 opção (2,6).
  • Se (A,E)=(4,6) então R=\{2,3,5\}. Possíveis (F,D):
    • F=2 permite D\ge 5; em R D=5. Resultado: 1 opção (2,5).
Cada escolha acima determina também a posição da mágica restante ( C). Assim, para B em 1 há no total 1+1+1=3 ordenações válidas.

Passo 4

Resumo do caso B=1: total de ordenações = 3.

Passo 5

Caso B na posição 3.
As posições restantes são S=\{1,2,4,5,6\}.
Opções para (\text{pos}(A),\text{pos}(E)) com \text{pos}(E)=\text{pos}(A)+2 e ambas em S:
  • \text{pos}(A)=2,\\ \text{pos}(E)=4.
  • \text{pos}(A)=4,\\ \text{pos}(E)=6.
    (Escolher \text{pos}(A)=1 daria \text{pos}(E)=3 que é B, não permitido; \text{pos}(A)=5 daria \text{pos}(E)=7 fora do intervalo.)
Para cada opção, conte (F,D) em R=S\setminus\{\text{pos}(A),\text{pos}(E)\} com \text{pos}(D)-\text{pos}(F)\ge 3.
  • Se (A,E)=(2,4) então R=\{1,5,6\}.
    • F=1 permite D\ge 4; em R D pode ser 5 ou 6. Isso dá (1,5) e (1,6).
    • F=5 ou 6 não permitem D em R com diferença \ge 3.
      Resultado: 2 opções.
  • Se (A,E)=(4,6) então R=\{1,2,5\}.
    • F=1 permite D\ge 4; em R D=5 é válido (1,5).
    • F=2 permite D\ge 5; em R D=5 é válido (2,5).
    • F=5 não permite D em R.
      Resultado: 2 opções.
Total para B em 3 = 2+2=4 ordenações válidas.

Passo 6

Resumo do caso B=3: total de ordenações = 4.

Passo 7

Caso B na posição 5.
As posições restantes são S=\{1,2,3,4,6\}.
Opções para (\text{pos}(A),\text{pos}(E)) com \text{pos}(E)=\text{pos}(A)+2 e ambas em S:
  • \text{pos}(A)=1,\\ \text{pos}(E)=3.
  • \text{pos}(A)=2,\\ \text{pos}(E)=4.
  • \text{pos}(A)=4,\\ \text{pos}(E)=6.
Para cada opção, conte (F,D) em R=S\setminus\{\text{pos}(A),\text{pos}(E)\} com \text{pos}(D)-\text{pos}(F)\ge 3.
  • Se (A,E)=(1,3) então R=\{2,4,6\}.
    • F=2 permite D\ge 5; em R D=6. Logo (2,6) é a única opção.
  • Se (A,E)=(2,4) então R=\{1,3,6\}.
    • F=1 permite D\ge 4; em R D=6 é possível (1,6).
    • F=3 permite D\ge 6; em R D=6 é possível (3,6).
      Resultado: 2 opções.
  • Se (A,E)=(4,6) então R=\{1,2,3\}.
    • Nenhum F\in R admite D\in R com diferença \ge 3 (pois máximos estão muito próximos). Resultado: 0 opções.
Total para B em 5 = 1+2+0=3 ordenações válidas.

Passo 8

Resumo do caso B=5: total de ordenações = 3.

Passo 9

Soma final: somando os três casos de B obtemos 3 (para B=1) +\\\ 4 (para B=3) +\\\ 3 (para B=5) =\\\ 10.
Portanto há exatamente 10 ordens possíveis que obedecem a todas as condições.

Resposta

10

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