Se e a_n > 0 converge n para todo n, pode-se dizer algo sobre ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas séries aqui: a primeira, e a_n > 0, que está convergindo e tem termos positivos ( para todo n). A pergunta é: o que podemos dizer sobre a segunda série, ? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e como comparar séries usando testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, como a série e a_n > 0 converge e os termos são positivos, sabemos que os termos tendem a zero quando n aumenta. Ou seja, . Isso é importante porque, se os termos de uma série tendem a zero, é uma condição necessária para a convergência da série, mas não garante por si só que a série vai convergir.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda série: . Aqui, estamos tomando o inverso de elevado a n. Como sabemos que tende a zero, está se tornando muito grande à medida que n aumenta. Elevando isso à potência n, esse termo cresce ainda mais rapidamente.

Passo 4

Para entender se a série converge ou diverge, podemos usar o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
Como , então e, portanto, . Como o limite dos termos não é zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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