Se
converge
para todo
, pode-se dizer algo sobre
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas séries aqui: a primeira,
, que está convergindo e tem termos positivos (
para todo
). A pergunta é: o que podemos dizer sobre a segunda série,
? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e como comparar séries usando testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, como a série
converge e os termos
são positivos, sabemos que os termos
tendem a zero quando
aumenta. Ou seja,
. Isso é importante porque, se os termos de uma série tendem a zero, é uma condição necessária para a convergência da série, mas não garante por si só que a série vai convergir.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda série:
. Aqui, estamos tomando o inverso de
elevado a
. Como sabemos que
tende a zero,
está se tornando muito grande à medida que
aumenta. Elevando isso à potência
, esse termo cresce ainda mais rapidamente.
Passo 4
Para entender se a série
converge ou diverge, podemos usar o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
Como
, então
e, portanto,
. Como o limite dos termos não é zero, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.