1. (Simon & Blume - Exercício 8.19) Use o método de Gauss-Jordan para inverter cada matriz abaixo ou para provar que ela é singular:
    \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é formar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr], onde
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
e aplicar operações elementares de linha até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos R_1 com R_2:
R_1 \leftrightarrow R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na coluna 1, fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Para normalizar o segundo pivô, multiplicamos R_2 por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminamos o elemento acima do pivô na coluna 2, fazendo R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right].
Agora temos \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].]

Resposta

A matriz inversa é
A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

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