1. (Simon & Blume - Exercício 8.19) Use o método de Gauss-Jordan para inverter cada matriz abaixo ou para provar que ela é singular:
    \left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[6pt] 2 & 4\end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan, ou mostrar que ela é singular. Como A é 2\times2, vamos montar a matriz aumentada \bigl[A\,|\,I\bigr] e aplicar operações elementares até obter \bigl[I\,|\,A^{-1}\bigr].]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|cc} 4 & 5 & 1 & 0\\[3pt] 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Transformamos o pivô da primeira linha em 1 dividindo a linha 1 por 4:
R_1 \gets \tfrac{1}{4}R_1 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{4} & 0\\[3pt] 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Anulamos o elemento abaixo do pivô em R_2 fazendo R_2 \gets R_2 - 2R_1:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{4} & 0\\[3pt] 0 & 4 - 2\cdot\tfrac{5}{4} & 0 - 2\cdot\tfrac{1}{4} & 1 - 2\cdot0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{4} & 0\\[3pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora transformamos o pivô da segunda linha em 1 dividindo R_2 por \tfrac{3}{2}:
R_2 \gets \tfrac{2}{3}R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{4} & 0\\[3pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Por fim, anulamos o elemento acima do pivô em R_1 fazendo R_1 \gets R_1 - \tfrac{5}{4}R_2:
R_1: \quad \left(\tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{4}\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;0 - \tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{2}{3}\right) = \bigl(\tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{12},\;-\tfrac{10}{12}\bigr) = \bigl(\tfrac{3}{12} + \tfrac{5}{12},\;-\tfrac{5}{6}\bigr) = \bigl(\tfrac{2}{3},\;-\tfrac{5}{6}\bigr).
Isso leva à forma final
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{5}{6}\\[3pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].]

Resposta

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & -\tfrac{5}{6}\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

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