1. (Simon & Blume - Exercício 8.20) Inverta a matriz de coeficientes para resolver os seguintes sistemas de equações:
    \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=5 \\\ x_{1}+x_{2}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1} + x_{2} = 5,\\\ x_{1} + x_{2} = 3 \end{cases}
usando a inversão da matriz de coeficientes. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, em particular a fórmula de inversão de matrizes 2\times2. Para resolver, vamos montar A e b, achar A^{-1} e então calcular x = A^{-1}b.

Passo 2

Definimos a matriz de coeficientes e o vetor de constantes:
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1.
Para matrizes 2\times2, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12}\\[4pt] -\,a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Multiplicamos A^{-1} pelo vetor b:
x = A^{-1}b = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot5 + (-1)\cdot3\\[4pt]-1\cdot5 + 2\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x_{1}=2 e \displaystyle x_{2}=1.

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