1. (Simon & Blume - Exercício 8.20) Inverta a matriz de coeficientes para resolver os seguintes sistemas de equações:
    \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=4 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=20 \\\\ -4 x_{1}-3 x_{2}+9 x_{3}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz de coeficientes de
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=4,\\\\ 6x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=20,\\\\ -4x_{1}-3x_{2}+9x_{3}=3 \end{cases}
para então encontrar (x_{1},x_{2},x_{3}). O conteúdo aqui é álgebra matricial, mais precisamente cálculo de inversa de matriz 3\times3 por meio da adjunta e determinante.

Passo 2

Identificamos a matriz A e o vetor b:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 6 & 2 & 6\\\\ -4 & -3 & 9 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}4\\\ 20\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}2&6\\\ -3&9\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}6&6\\\ -4&9\end{pmatrix} +0 =2(2\cdot9-6\cdot(-3))-\bigl(6\cdot9-6\cdot(-4)\bigr) =72-78=-6.

Passo 4

Formamos a matriz dos cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente, e em seguida a adjunta \operatorname{adj}(A)=C^{T}. O resultado é
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 36 & -9 & 6\\\\ -78 & 18 & -12\\\\ -10 & 2 & -2 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} 36 & -78 & -10\\\\ -9 & 18 & 2\\\\ 6 & -12 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

A inversa de A é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 36 & -78 & -10\\\\ -9 & 18 & 2\\\\ 6 & -12 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & \tfrac{3}{2} & -1\\\\ 13 & -3 & 2\\\ \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora calculamos \,x=A^{-1}b:
x_{1} = -6\cdot4 + \tfrac{3}{2}\cdot20 +(-1)\cdot3 = -24+30-3=3,
x_{2} = 13\cdot4 +(-3)\cdot20 +2\cdot3 = 52-60+6=-2,
x_{3} = \tfrac{5}{3}\cdot4 +(-\tfrac{1}{3})\cdot20 + \tfrac{1}{3}\cdot3 = \tfrac{20}{3}-\tfrac{20}{3}+1=1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(3,\,-2,\,1).

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