(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
de um sistema linear Ax=b. Precisamos dizer quantas soluções ele tem:
no caso homogêneo b_{1}=b_{2}=0,
no caso geral b=(b_{1},b_{2}).
O conteúdo aqui é o critério de invertibilidade via determinante e posto da matriz.
Passo 2
Calcular o determinante de A. Pela fórmula de matrizes 2\times2,
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}
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\det(A)=1\cdot1 - 2\cdot4 = 1-8 = -7.
Passo 3
Como \det(A)=-7\neq0, a matriz A é invertível. Isso implica que o posto de A é igual a 2, ou seja, cheio (igual ao número de colunas).
Passo 4
Invertibilidade e posto cheio garantem que:
Para o sistema homogêneo Ax=0, a única solução é a trivial x=0.
Para qualquer vetor b\in\mathbb{R}^{2}, existe exatamente uma solução x=A^{-1}b, ou seja, o sistema é sempre compatível e determinado.
Resposta
(i) No caso b_{1}=b_{2}=0, há única solução trivial.
(ii) Para um b geral, há solução única.