Simplificando a expressão \frac{a^{6} b^{6}-4 x^{2}}{a^{3} b^{3}+2 x} com a^{3} b^{3}+2 x \neq 0, obtém-se:
a) a^{4} b^{6}-2 x.
b) a^{4} b^{3}-2 x.
c) a^{3} b^{4}-2 x.
d) a^{3} b^{3}-2 x.
e) a^{3} b^{6}-2 x.

Passo 1

O enunciado dá a expressão racional
\frac{a^{6} b^{6}-4 x^{2}}{a^{3} b^{3}+2 x}
e a condição \,a^{3} b^{3}+2 x \neq 0\,. A pergunta é: simplificar essa expressão (ou seja, reduzir ao máximo, cancelando fatores quando possível) e escolher a alternativa correta entre as fornecidas.

Passo 2

Vou olhar para o numerador e tentar reconhecer uma forma algébrica conhecida. Uma forma muito útil é a diferença de quadrados:
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v),
onde u e v são quaisquer expressões. Essa identidade é frequentemente usada para fatorar polinômios.

Passo 3

Identifico no numerador as potências perfeitas:
a^{6} b^{6}=(a^{3} b^{3})^{2} \qquad\text{e}\qquad 4x^{2}=(2x)^{2}.
Logo posso aplicar a diferença de quadrados com u=a^{3} b^{3} e v=2x.

Passo 4

Fatorando o numerador pela identidade da diferença de quadrados:
a^{6} b^{6}-4 x^{2}=(a^{3} b^{3}-2x)(a^{3} b^{3}+2x).

Passo 5

Substituo essa fatoração na fração:
\frac{a^{6} b^{6}-4 x^{2}}{a^{3} b^{3}+2 x} = \frac{(a^{3} b^{3}-2x)(a^{3} b^{3}+2x)}{a^{3} b^{3}+2 x}.

Passo 6

Como foi dado que \,a^{3} b^{3}+2 x \neq 0\,, o fator (a^{3} b^{3}+2x) no numerador pode ser cancelado com o denominador. Após o cancelamento sobra:
a^{3} b^{3}-2x.

Passo 7

Portanto a expressão simplificada é \,a^{3} b^{3}-2x\,, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

a^{3} b^{3}-2x