Simplifique as expressões abaixo usando um mapa K .
\begin{aligned} & x=\bar{A} \bar{B} \bar{C}+\bar{A} B C+A B C+A \bar{B} \bar{C}+A \bar{B} C \\ & y=\overline{(C+D)}+\bar{A} C \bar{D}+A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C D+A C \bar{D} \\ & x=A B(\overline{\bar{C} D})+\bar{A} B D+\bar{B} \bar{C} \bar{D} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar, usando um mapa K, três expressões booleanas. As expressões dadas são:
\begin{aligned} &\text{(1)}\qquad x=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+\bar{A}BC+ABC+A\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}C\\[4pt] &\text{(2)}\qquad y=\overline{(C+D)}+\bar{A}C\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD+AC\bar{D}\\[4pt] &\text{(3)}\qquad x=AB\big(\overline{\bar{C}D}\big)+\bar{A}BD+\bar{B}\bar{C}\bar{D} \end{aligned}
O que se pede, para cada uma, é a forma simplificada (menor número possível de literais/termos) obtida utilizando o mapa de Karnaugh (mapa K). Vou trabalhar cada expressão passo a passo, listando os termos, montando mentalmente o mapa K (ou suas implicações) e mostrando as agrupações que levam à forma simplificada.]

Passo 2

Conceitos rápidos sobre mapa K (explicação didática e necessária antes de aplicar):
  • Um mapa K é uma tabela com células que representam todas as combinações possíveis das variáveis (cada célula = um mintermo). Células que diferem em exatamente uma variável são adjacentes. Agrupamos 1s em potências de 2 (1, 2, 4, 8, …) tentando fazer os maiores grupos possíveis; cada grupo produz um implicante que é o produto (AND) das variáveis que não mudam dentro do grupo.
  • Para 3 variáveis (A,B,C) o mapa tem 2 linhas (A=0, A=1) e 4 colunas (BC = 00,01,11,10 em ordem Gray). Para 4 variáveis (A,B,C,D) o mapa tem 4 linhas (AB = 00,01,11,10) e 4 colunas (CD = 00,01,11,10).
  • Sempre que um termo não menciona uma variável isso significa que esse termo cobre ambas as possibilidades dessa variável (ou seja, a célula correspondente e sua “par”). Ex.: AB\bar{D} representa os dois mintermos com A=1,B=1,D=0 e C=0 ou C=1.
  • Identificar implicantes essenciais: células que só são cobertas por um implicante possível tornam esse implicante essencial (precisa estar na solução).
Agora aplico estes passos nas expressões concretas.

Passo 3

Resolvendo a expressão (1).
  • Listei os termos e traduzi para mintermos (cada tríade A,B,C):
    • \bar{A}\bar{B}\bar{C} = mintermo 000
    • \bar{A}BC = 011
    • ABC = 111
    • A\bar{B}\bar{C} = 100
    • A\bar{B}C = 101
  • Então as células com 1 são os mintermos 000,011,100,101,111.

Passo 4

Construindo o mapa K 3-variáveis (mentalmente) e procurando grupos:
  • Organizo o mapa com linhas A=0 e A=1, colunas BC=00,01,11,10.
  • Marco 1s nas posições correspondentes:
    • 000 \Rightarrow linha A=0, coluna BC=00.
    • 011 \Rightarrow linha A=0, coluna BC=11.
    • 100 \Rightarrow linha A=1, coluna BC=00.
    • 101 \Rightarrow linha A=1, coluna BC=01.
    • 111 \Rightarrow linha A=1, coluna BC=11.
  • Procuro agrupamentos em potências de 2, maiores possíveis:
    1. As células 000 e 100 (coluna BC=00, A varia) formam um par vertical. Dentro desse par BC é fixo em 00 e A varia, logo o implicante é \bar{B}\bar{C}.
    2. As células 011 e 111 (coluna BC=11, A varia) formam um par vertical com BC=11 fixo; implicante é BC.
    3. As células 100 e 101 (linha A=1, colunas BC=00 e BC=01) também formam um par horizontal. Nesse par A=1 e B=0 são fixos, C varia; implicante é A\bar{B}.
  • Observação: células podem pertencer a mais de um grupo; sobreposição é permitida e às vezes necessária para cobertura mínima.

Passo 5

Escrevendo a soma dos implicantes obtidos:
  • Dos grupos encontrei os implicantes \bar{B}\bar{C}, BC e A\bar{B}.
  • A expressão simplificada é a soma (OR) desses implicantes:
x=\bar{B}\bar{C}+BC+A\bar{B}.
  • Como pequena verificação: \bar{B}\bar{C} cobre 000 e 100 (o par que marcamos), BC cobre 011 e 111, A\bar{B} cobre 100 e 101. Todas as 1s originais estão cobertas.

Passo 6

Resumo didático sobre (1): a ideia foi transformar os mintermos em células do mapa, formar pares/trios/potências de 2, identificar as variáveis constantes dentro de cada grupo (essas constantes compõem o produto do implicante) e somar os implicantes. Assim obtemos uma forma com menos literais que a soma inicial.

Passo 7

Resolvendo a expressão (2).
  • Primeiro aplico De Morgan em \overline{(C+D)}:
\overline{(C+D)}=\bar{C}\bar{D}.
  • Substituindo na expressão:
y=\bar{C}\bar{D}+\bar{A}C\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD+AC\bar{D}.

Passo 8

Agrupamentos algébricos iniciais (antes de desenhar o mapa):
  • Note que os três termos \bar{C}\bar{D}, \bar{A}C\bar{D} e AC\bar{D} têm fator \bar{D} em comum quando se reescrevem: \bar{C}\bar{D}+\bar{A}C\bar{D}+AC\bar{D} = \bar{D}\big(\bar{C}+\bar{A}C+AC\big).
  • Dentro dos parênteses \bar{A}C+AC = C(\bar{A}+A)=C. Assim \bar{C}+\bar{A}C+AC = \bar{C}+C = 1.
  • Portanto toda essa soma é simplesmente \bar{D}. Ou seja:
\bar{C}\bar{D}+\bar{A}C\bar{D}+AC\bar{D}=\bar{D}.

Passo 9

Substituo esse resultado em y:
y=\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD.
Essa é uma simplificação importante obtida por fatoração e uso de \bar{A}+A=1.

Passo 10

Interpretação via mapa K (confirmação e mínima cobertura):
  • Em um mapa 4-variáveis, \bar{D} corresponde a todas as células com D=0 (metade inteira do mapa). Assim todas as combinações com D=0 ficam com saída 1 por causa de \bar{D} — não é necessário cobrir estas células com outros implicantes.
  • Restam possíveis 1s com D=1. Os outros termos que envolvem D=1 são:
    • A\bar{B}\bar{C} (não depende de D, então também vale para D=1 quando A=1,B=0,C=0); isto gera 1 na célula com A=1,B=0,C=0,D=1.
    • \bar{A}\bar{B}CD gera 1 na célula com A=0,B=0,C=1,D=1.
  • No plano D=1 restam portanto apenas duas células isoladas com 1: (A,B,C,D)=(1,0,0,1) e (0,0,1,1). Essas duas não são adjacentes (diferem em duas variáveis), logo não podem ser agrupadas juntas para reduzir literais.
  • Logo os implicantes para essas duas células precisam permanecer, ou ser cobridos por implicantes que já temos; mas \bar{D} não as cobre (porque nelas D=1), por isso permanecem como termos na expressão final.

Passo 11

Conclusão para (2): a forma simplificada (mínima dada as observações) é
y=\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD.
Pequeno comentário: \bar{D} já cobre metade das combinações; restaram duas células isoladas no plano D=1 que exigem os termos mostrados.

Passo 12

Resolvendo a expressão (3).
  • Primeiro simplifico a parte \overline{\bar{C}D} por De Morgan:
\overline{\bar{C}D}=\bar{(\bar{C}D)}=\bar{\bar{C}}+\bar{D}=C+\bar{D}.
  • Substituo em x:
x = AB(C+\bar{D})+\bar{A}BD+\bar{B}\bar{C}\bar{D}.
  • Expandindo AB(C+\bar{D}) se desejar:
AB(C+\bar{D}) = ABC + AB\bar{D}.
Mas muitas vezes é mais claro manter a forma factorizada AB(C+\bar{D}) para mostrar o agrupamento no mapa.

Passo 13

Análise por mapa K (4 variáveis: A,B,C,D):
  • Os termos correspondem aos seguintes mintermos:
    • AB(C+\bar{D}) cobre as células com A=1,B=1 e (ou C=1 qualquer D, ou D=0 qualquer C), no detalhe os mintermos (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1). (Ao expandir vê-se que os mintermos efetivamente cobertos são AB\bar{D} (1,1,0,0) e (1,1,1,0); ABC (1,1,1,0) e (1,1,1,1). União: os três mintermos indicados.)
    • \bar{A}BD cobre (0,1,0,1) e (0,1,1,1).
    • \bar{B}\bar{C}\bar{D} cobre (0,0,0,0) e (1,0,0,0).
  • Marcação no mapa (linhas AB = 00,01,11,10 e colunas CD = 00,01,11,10) resulta nas 1s:
    • coluna CD=00: linhas AB=00,10,11 têm 1s em alguns desses casos (especificamente as coordenadas acima).
    • linha AB=01: duas 1s em colunas CD=01 e CD=11 (cobertas por \bar{A}BD).
    • linha AB=11: três 1s nas colunas correspondentes a (1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1).

Passo 14

Procurando grupos (prime implicantes) e implicantes essenciais:
  • O termo original \bar{B}\bar{C}\bar{D} já é um par de dois mintermos (A varia), corresponde a um grupo de 2 e é essencial para cobrir (0,0,0,0) que só aparece aí.
  • O termo \bar{A}BD forma um grupo de 2 horizontal (linha AB=01 colunas CD=01 e CD=11) e cobre as duas células (0,1,0,1) e (0,1,1,1); esse implicante é essencial porque (0,1,0,1) só é coberta por ele.
  • As células com A=1,B=1 (ou seja a parte AB) podem ser cobertas por:
    • AB\bar{D} cobre (1,1,0,0) e (1,1,1,0).
    • ABC cobre (1,1,1,0) e (1,1,1,1).
    • Essas duas implicantes (ou a forma combinada AB(C+\bar{D})) cobrem os três mintermos restantes que não estavam cobertos pelos dois implicantes essenciais anteriores.
  • Não existe um agrupamento maior que permita eliminar um desses termos sem deixar alguma célula descoberta: as três células que têm A=1,B=1 formam essencialmente a cobertura que se mantém como AB(C+\bar{D}) (ou equivalente ABC+AB\bar{D}).

Passo 15

Escrevendo a forma final simplificada para (3):
  • Mantendo a forma factorizada clara e curta, a expressão simplificada é
x = AB(C+\bar{D})+\bar{A}BD+\bar{B}\bar{C}\bar{D}.
  • Observação: essa forma já é bem enxuta; a parte AB(C+\bar{D}) vem diretamente da simplificação da negação inicial \overline{\bar{C}D} e dos agrupamentos no mapa; os outros dois termos são essenciais conforme argumentado.

Resposta

x=\bar{B}\bar{C}+BC+A\bar{B}
y=\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD
x=AB(C+\bar{D})+\bar{A}BD+\bar{B}\bar{C}\bar{D}

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