Simplifique as expressões abaixo usando um mapa K .
\begin{aligned}
& x=\bar{A} \bar{B} \bar{C}+\bar{A} B C+A B C+A \bar{B} \bar{C}+A \bar{B} C \\
& y=\overline{(C+D)}+\bar{A} C \bar{D}+A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C D+A C \bar{D} \\
& x=A B(\overline{\bar{C} D})+\bar{A} B D+\bar{B} \bar{C} \bar{D}
\end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para simplificar, usando um mapa K, três expressões booleanas. As expressões dadas são:
O que se pede, para cada uma, é a forma simplificada (menor número possível de literais/termos) obtida utilizando o mapa de Karnaugh (mapa K). Vou trabalhar cada expressão passo a passo, listando os termos, montando mentalmente o mapa K (ou suas implicações) e mostrando as agrupações que levam à forma simplificada.]
Passo 2
Conceitos rápidos sobre mapa K (explicação didática e necessária antes de aplicar):
Um mapa K é uma tabela com células que representam todas as combinações possíveis das variáveis (cada célula = um mintermo). Células que diferem em exatamente uma variável são adjacentes. Agrupamos 1s em potências de 2 (1, 2, 4, 8, …) tentando fazer os maiores grupos possíveis; cada grupo produz um implicante que é o produto (AND) das variáveis que não mudam dentro do grupo.
Para 3 variáveis (A,B,C) o mapa tem 2 linhas (A=0, A=1) e 4 colunas (BC = 00,01,11,10 em ordem Gray). Para 4 variáveis (A,B,C,D) o mapa tem 4 linhas (AB = 00,01,11,10) e 4 colunas (CD = 00,01,11,10).
Sempre que um termo não menciona uma variável isso significa que esse termo cobre ambas as possibilidades dessa variável (ou seja, a célula correspondente e sua “par”). Ex.: AB\bar{D} representa os dois mintermos com A=1,B=1,D=0 e C=0 ou C=1.
Identificar implicantes essenciais: células que só são cobertas por um implicante possível tornam esse implicante essencial (precisa estar na solução).
Agora aplico estes passos nas expressões concretas.
Passo 3
Resolvendo a expressão (1).
Listei os termos e traduzi para mintermos (cada tríade A,B,C):
\bar{A}\bar{B}\bar{C} = mintermo 000
\bar{A}BC = 011
ABC = 111
A\bar{B}\bar{C} = 100
A\bar{B}C = 101
Então as células com 1 são os mintermos 000,011,100,101,111.
Passo 4
Construindo o mapa K 3-variáveis (mentalmente) e procurando grupos:
Organizo o mapa com linhas A=0 e A=1, colunas BC=00,01,11,10.
Marco 1s nas posições correspondentes:
000\Rightarrow linha A=0, coluna BC=00.
011\Rightarrow linha A=0, coluna BC=11.
100\Rightarrow linha A=1, coluna BC=00.
101\Rightarrow linha A=1, coluna BC=01.
111\Rightarrow linha A=1, coluna BC=11.
Procuro agrupamentos em potências de 2, maiores possíveis:
As células 000 e 100 (coluna BC=00, A varia) formam um par vertical. Dentro desse par BC é fixo em 00 e A varia, logo o implicante é \bar{B}\bar{C}.
As células 011 e 111 (coluna BC=11, A varia) formam um par vertical com BC=11 fixo; implicante é BC.
As células 100 e 101 (linha A=1, colunas BC=00 e BC=01) também formam um par horizontal. Nesse par A=1 e B=0 são fixos, C varia; implicante é A\bar{B}.
Observação: células podem pertencer a mais de um grupo; sobreposição é permitida e às vezes necessária para cobertura mínima.
Passo 5
Escrevendo a soma dos implicantes obtidos:
Dos grupos encontrei os implicantes \bar{B}\bar{C}, BC e A\bar{B}.
A expressão simplificada é a soma (OR) desses implicantes:
x=\bar{B}\bar{C}+BC+A\bar{B}.
Como pequena verificação: \bar{B}\bar{C} cobre 000 e 100 (o par que marcamos), BC cobre 011 e 111, A\bar{B} cobre 100 e 101. Todas as 1s originais estão cobertas.
Passo 6
Resumo didático sobre (1): a ideia foi transformar os mintermos em células do mapa, formar pares/trios/potências de 2, identificar as variáveis constantes dentro de cada grupo (essas constantes compõem o produto do implicante) e somar os implicantes. Assim obtemos uma forma com menos literais que a soma inicial.
Agrupamentos algébricos iniciais (antes de desenhar o mapa):
Note que os três termos \bar{C}\bar{D}, \bar{A}C\bar{D} e AC\bar{D} têm fator \bar{D} em comum quando se reescrevem:\bar{C}\bar{D}+\bar{A}C\bar{D}+AC\bar{D} = \bar{D}\big(\bar{C}+\bar{A}C+AC\big).
Dentro dos parênteses \bar{A}C+AC = C(\bar{A}+A)=C. Assim\bar{C}+\bar{A}C+AC = \bar{C}+C = 1.
Portanto toda essa soma é simplesmente \bar{D}. Ou seja:
\bar{C}\bar{D}+\bar{A}C\bar{D}+AC\bar{D}=\bar{D}.
Passo 9
Substituo esse resultado em y:
y=\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD.
Essa é uma simplificação importante obtida por fatoração e uso de \bar{A}+A=1.
Passo 10
Interpretação via mapa K (confirmação e mínima cobertura):
Em um mapa 4-variáveis, \bar{D} corresponde a todas as células com D=0 (metade inteira do mapa). Assim todas as combinações com D=0 ficam com saída 1 por causa de \bar{D} — não é necessário cobrir estas células com outros implicantes.
Restam possíveis 1s com D=1. Os outros termos que envolvem D=1 são:
A\bar{B}\bar{C} (não depende de D, então também vale para D=1 quando A=1,B=0,C=0); isto gera 1 na célula com A=1,B=0,C=0,D=1.
\bar{A}\bar{B}CD gera 1 na célula com A=0,B=0,C=1,D=1.
No plano D=1 restam portanto apenas duas células isoladas com 1: (A,B,C,D)=(1,0,0,1) e (0,0,1,1). Essas duas não são adjacentes (diferem em duas variáveis), logo não podem ser agrupadas juntas para reduzir literais.
Logo os implicantes para essas duas células precisam permanecer, ou ser cobridos por implicantes que já temos; mas \bar{D} não as cobre (porque nelas D=1), por isso permanecem como termos na expressão final.
Passo 11
Conclusão para (2): a forma simplificada (mínima dada as observações) é
y=\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}CD.
Pequeno comentário: \bar{D} já cobre metade das combinações; restaram duas células isoladas no plano D=1 que exigem os termos mostrados.
Passo 12
Resolvendo a expressão (3).
Primeiro simplifico a parte \overline{\bar{C}D} por De Morgan:
x = AB(C+\bar{D})+\bar{A}BD+\bar{B}\bar{C}\bar{D}.
Expandindo AB(C+\bar{D}) se desejar:
AB(C+\bar{D}) = ABC + AB\bar{D}.
Mas muitas vezes é mais claro manter a forma factorizada AB(C+\bar{D}) para mostrar o agrupamento no mapa.
Passo 13
Análise por mapa K (4 variáveis: A,B,C,D):
Os termos correspondem aos seguintes mintermos:
AB(C+\bar{D}) cobre as células com A=1,B=1 e (ou C=1 qualquer D, ou D=0 qualquer C), no detalhe os mintermos (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1). (Ao expandir vê-se que os mintermos efetivamente cobertos são AB\bar{D} dá (1,1,0,0) e (1,1,1,0); ABC dá (1,1,1,0) e (1,1,1,1). União: os três mintermos indicados.)
\bar{A}BD cobre (0,1,0,1) e (0,1,1,1).
\bar{B}\bar{C}\bar{D} cobre (0,0,0,0) e (1,0,0,0).
Marcação no mapa (linhas AB = 00,01,11,10 e colunas CD = 00,01,11,10) resulta nas 1s:
coluna CD=00: linhas AB=00,10,11 têm 1s em alguns desses casos (especificamente as coordenadas acima).
linha AB=01: duas 1s em colunas CD=01 e CD=11 (cobertas por \bar{A}BD).
linha AB=11: três 1s nas colunas correspondentes a (1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1).
Passo 14
Procurando grupos (prime implicantes) e implicantes essenciais:
O termo original \bar{B}\bar{C}\bar{D} já é um par de dois mintermos (A varia), corresponde a um grupo de 2 e é essencial para cobrir (0,0,0,0) que só aparece aí.
O termo \bar{A}BD forma um grupo de 2 horizontal (linha AB=01 colunas CD=01 e CD=11) e cobre as duas células (0,1,0,1) e (0,1,1,1); esse implicante é essencial porque (0,1,0,1) só é coberta por ele.
As células com A=1,B=1 (ou seja a parte AB) podem ser cobertas por:
AB\bar{D} cobre (1,1,0,0) e (1,1,1,0).
ABC cobre (1,1,1,0) e (1,1,1,1).
Essas duas implicantes (ou a forma combinada AB(C+\bar{D})) cobrem os três mintermos restantes que não estavam cobertos pelos dois implicantes essenciais anteriores.
Não existe um agrupamento maior que permita eliminar um desses termos sem deixar alguma célula descoberta: as três células que têm A=1,B=1 formam essencialmente a cobertura que se mantém como AB(C+\bar{D}) (ou equivalente ABC+AB\bar{D}).
Passo 15
Escrevendo a forma final simplificada para (3):
Mantendo a forma factorizada clara e curta, a expressão simplificada é
x = AB(C+\bar{D})+\bar{A}BD+\bar{B}\bar{C}\bar{D}.
Observação: essa forma já é bem enxuta; a parte AB(C+\bar{D}) vem diretamente da simplificação da negação inicial \overline{\bar{C}D} e dos agrupamentos no mapa; os outros dois termos são essenciais conforme argumentado.