Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{\left(x^{3}\right)^{2}}{\sqrt{x^{5} x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências, eliminando expoentes negativos (se houverem) e racionalizando denominadores. A expressão dada é:
\frac{\left(x^{3}\right)^{2}}{\sqrt{x^{5} x^{3}}}
Assuma que x>0 (o enunciado autorizou assumir variáveis positivas), para podermos tratar a raiz quadrada de maneira direta sem sinais absolutos. O objetivo final é uma expressão sem raízes no denominador e sem expoentes negativos.

Passo 2

Converter raízes em potências e aplicar regras básicas de potência.
Regra útil (explicar): para qualquer base a e expoentes m,n vale
(a^{m})^{n}=a^{m n}, \qquad a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Estas são as regras que vamos usar. Agora converto cada parte da expressão:
  • O numerador: \left(x^{3}\right)^{2}=x^{3\cdot2}=x^{6}.
  • No denominador a raiz quadrada é potência \tfrac{1}{2}. Então
\sqrt{x^{5}x^{3}}=\left(x^{5}x^{3}\right)^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 3

Simplificar o produto dentro da raiz usando x^{5}x^{3}=x^{5+3}=x^{8}. Como peguei esse dado do próprio enunciado (os expoentes 5 e 3 estavam na expressão), temos:
\sqrt{x^{5}x^{3}}=\left(x^{8}\right)^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 4

Aplicar a regra (a^{m})^{n}=a^{mn} ao denominador:
\left(x^{8}\right)^{\tfrac{1}{2}}=x^{8\cdot\tfrac{1}{2}}=x^{4}.
Aqui usei a hipótese x>0 para afirmar que \sqrt{x^{8}}=x^{4} (sem a hipótese positiva teríamos \sqrt{x^{8}}=|x^{4}|=x^{4} também, mas a positividade simplifica a discussão).
Agora a expressão fica
\frac{x^{6}}{x^{4}}.

Passo 5

Dividir potências de mesma base usando \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}:
\frac{x^{6}}{x^{4}}=x^{6-4}=x^{2}.
Isso elimina qualquer expoente negativo (não apareceu nenhum) e também elimina raízes no denominador (denominador já ficou inteiro).

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): suponha x=2. A expressão original vale
\frac{(2^{3})^{2}}{\sqrt{2^{5}\cdot2^{3}}}=\frac{(8)^{2}}{\sqrt{32\cdot8}}=\frac{64}{\sqrt{256}}=\frac{64}{16}=4,
e a nossa resposta x^{2} com x=2 2^{2}=4. Confere.

Resposta

x^{2}

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