Simplifique as expressōes convertendo as raízes em potências. Elimine expoentes negativos, caso existam, e racionalize os denominadores. Se necessário, suponha que as variáveis são números positivos e que os denominadores sāo nāo nulos.
\frac{y^{1 / 2} \cdot\left(y x^{3 / 2}\right)}{(y x)^{5 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, convertendo raízes em potências (se houver), eliminando expoentes negativos e racionalizando o denominador. A expressão dada é
\frac{y^{1/2}\cdot\bigl(y\,x^{3/2}\bigr)}{(y x)^{5/2}}.
Suponha que x e y são números positivos e que y x \neq 0.

Passo 2

Lembrete das regras de potências que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Produto de potências com mesma base: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Aqui a é uma variável ou expressão e m,n são expoentes.
  • Potência de produto: (ab)^{n}=a^{n}b^{n}.
  • Quociente de potências com mesma base: \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
  • Expoente negativo: a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}} (isso elimina expoentes negativos).
  • Conversão de raiz para potência: \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. No exercício já temos potências fracionárias, então já estão no formato adequado.

Passo 3

Simplifico o numerador aplicando a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. No numerador temos y^{1/2} multiplicado por y. Escrevendo y como y^{1} fica
y^{1/2}\cdot y = y^{1/2}\cdot y^{1} = y^{1/2+1} = y^{3/2}.
Portanto o numerador completo y^{1/2}\cdot\bigl(y\,x^{3/2}\bigr) vira
y^{3/2}\,x^{3/2}.

Passo 4

Agora trato o denominador usando (ab)^{n}=a^{n}b^{n}. Assim
(y x)^{5/2}=y^{5/2}x^{5/2}.

Passo 5

Coloco a forma atual da fração:
\frac{y^{3/2}x^{3/2}}{y^{5/2}x^{5/2}}.
Agora uso \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} separadamente para y e para x:
\frac{y^{3/2}}{y^{5/2}}=y^{3/2-5/2}=y^{-1}, \qquad \frac{x^{3/2}}{x^{5/2}}=x^{3/2-5/2}=x^{-1}.
Multiplicando os resultados:
y^{-1}x^{-1}=(y x)^{-1}.

Passo 6

Elimino os expoentes negativos usando a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Então
(y x)^{-1}=\frac{1}{y x}.
Como x e y são positivos, não há problema de sinal nem de raiz no denominador. O denominador já está sem raízes, portanto está racionalizado.

Passo 7

Resumo e checagem final: a expressão foi transformada passo a passo por regras de potências e o resultado final é uma fração simples sem expoentes negativos nem raízes no denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{xy}

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