Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam.
\frac{5^{-3}}{5^{-7}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a seguinte expressão, eliminando expoentes negativos:
\frac{5^{-3}}{5^{-7}}
Informações dadas:
  • A base em ambos numerador e denominador é \,5\,.
  • Os expoentes são -3 no numerador e -7 no denominador.
    O objetivo é reescrever a expressão sem expoentes negativos e obter um número simplificado.

Passo 2

Lembrete da regra de potências que vamos usar: quando dividimos potências de mesma base, subtraímos os expoentes. Em forma geral:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
onde a é a base (diferente de zero), m e n são os expoentes. Explicando por que isso vale: escrevendo as potências como produto,
a^{m}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{m\\ \text{vezes}}, \qquad a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\\ \text{vezes}},
ao dividir, cancelam-se n fatores a do numerador com os do denominador, sobrando m-n fatores a, isto é a^{m-n}. Essa regra funciona também quando m ou n são negativos, porque a definição a^{-k}=1/a^{k} é consistente com a subtração de expoentes.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso com a=5, m=-3 e n=-7:
\frac{5^{-3}}{5^{-7}}=5^{-3-(-7)}.
Calcule o expoente:
-3-(-7)=-3+7=4.
Portanto
\frac{5^{-3}}{5^{-7}}=5^{4}.

Passo 4

Se preferir ver por definição de expoente negativo, outra via — totalmente equivalente — é transformar cada potência negativa em recíproco:
\frac{5^{-3}}{5^{-7}}=\frac{1/5^{3}}{1/5^{7}}=\frac{1}{5^{3}}\cdot\frac{5^{7}}{1}=5^{7-3}=5^{4},
o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Agora calcule 5^{4} explicitamente:
5^{4}=5\cdot5\cdot5\cdot5=25\cdot25=625.

Resposta

625

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