Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando o método que julgar mais adequado (obtenha expressões mínimas). \overline{A \cdot B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D}}
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão lógica dada e obter uma forma mínima. A expressão fornecida é:
\overline{A \cdot B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D}}
Informações/condições fornecidas:
A,B,C,D são variáveis lógicas (cada uma só pode assumir 0 ou 1).
O símbolo \cdot indica a operação lógica E (conjunção).
O símbolo \overline{\,\cdot\,} indica negação (NÃO).
O símbolo \bar{C} é a negação de C (ou seja, \bar{C}=\overline{C}).
O que é pedido:
Encontrar uma expressão equivalente mais simples (forma mínima) da expressão dada.
Passo 2
Aplicar a lei de De Morgan para complementar um produto. A lei de De Morgan diz que a negação de uma conjunção é a disjunção das negações; simbolicamente:
Aqui temos X=A, Y=B, Z=\bar{C} e W=\bar{D}. Aplicando De Morgan diretamente:
\overline{A \cdot B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D}}=\overline{A}+\overline{B}+\overline{\bar{C}}+\overline{\bar{D}}.
Explicação curta da lei (didática): pensar assim — para que o produto A\cdot B\cdot\bar{C}\cdot\bar{D} seja verdadeiro (igual a 1), todas as parcelas precisam ser 1. A negação disso significa que pelo menos uma das parcelas é falsa; isso é exatamente a soma lógica (OU) das negações de cada parcela.
Passo 3
Simplificar as duplas negações. Sabemos que a negação da negação de uma variável retorna a própria variável:
\overline{\bar{C}}=C,\qquad \overline{\bar{D}}=D.
Substituindo na expressão do Passo 2 obtemos:
\overline{A}+\overline{B}+C+D.
Aqui cada termo é um literal (uma variável ou sua negação isolada). Esta é uma forma bastante simples e direta.
Passo 4
Verificar se é possível simplificar ainda mais (analisar redundâncias pela leis da álgebra booleana).
Regras úteis rápidas:
Idempotência: x+x=x.
Absorção: x + x y = x.
Seja x literal simples ou negado; para aplicar absorção precisamos ter um termo que seja produto envolvendo exatamente esse literal. Na expressão atual todos os termos são literais isolados (\overline{A},\overline{B},C,D), não há produtos desses literais que permitam absorção.
Teste de necessidade de cada literal (método prático): se removermos um literal, existe alguma combinação de valores das variáveis que faça a expressão original valer 1 enquanto a expressão com o literal removido vale 0? Se sim, o literal é necessário.
Exemplos rápidos para mostrar que cada literal é necessário:
Removendo \overline{A}: considere A=0,B=1,C=0,D=0. A expressão reduzida \overline{B}+C+D vale 0, enquanto a expressão completa \overline{A}+\overline{B}+C+D vale 1. Logo \overline{A} é necessária.
Removendo \overline{B}: tome A=1,B=0,C=0,D=0. A expressão sem \overline{B} pode falhar enquanto a original não; portanto \overline{B} é necessária.
Removendo C: tome A=1,B=1,C=1,D=0. Sem C a expressão pode ser 0 enquanto com C é 1; logo C é necessária.
Removendo D: análogo ao caso de C.
Como não existe nenhuma lei que transforme a soma de literais simples em algo com menos literais mantendo equivalência, a expressão obtida é mínima em termos de número de literais.
Passo 5
Resumo e interpretação final didática:
A negação de um AND vira um OR das negações (De Morgan).
Dupla negação some.
O resultado é uma soma (OU) de quatro literais: \overline{A}+\overline{B}+C+D.
Cada um desses literais é necessário — não há absorção ou redundância a explorar — portanto a expressão está em forma mínima.