Dada a equação booleana, \mathbf{F} \boldsymbol{=} \mathbf{A} \boldsymbol{.} \mathbf{C}^{\prime} \boldsymbol{+}\left(\mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{.} \mathbf{B} \boldsymbol{+} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}^{\prime}\right)^{\prime}
a. usando as propriedades da álgebra booleana, expanda-a algebricamente até a FC (forma canônica) SOP
b. forneça a FC reduzida SOP
c. preencha sua TV, colocando uma coluna para cada termo acima, e uma para F

Passo 1

Vou resgatar com clareza o que o enunciado pede e quais informações temos (sem resolver ainda).
  • A função booleana dada é
    F = A\cdot C' + \bigl(A'\cdot B + A\cdot B'\bigr)'\!.
  • O que se pede:
    a. Expandir algebricamente até obter a FC (forma canônica) SOP — isto é, escrever F como soma de mintermos (produtos com todas as variáveis).
    b. Fornecer a forma canônica reduzida (SOP reduzida), isto é, a expressão simplificada em soma de produtos mínima (ou ao menos reduzida).
    c. Preencher a tabela verdade (TV), colocando uma coluna para cada termo usado acima e uma coluna para F.
  • Variáveis envolvidas: A, B, C. Complemento de X será escrito como X'. Produto lógico como \cdot (ou simplesmente adjacência) e soma lógica como +.

Passo 2

Pequena revisão didática das regras e teoremas que vou usar (passo-a-passo, sem pressa).
  • Operadores básicos:
    • X+Y é o OR lógico (soma). Resultado é 1 se X=1 ou Y=1.
    • X\cdot Y é o AND lógico (produto). Resultado é 1 só se X=1 e Y=1.
    • X' é o complemento (NOT). Se X=1 então X'=0, e vice-versa.
  • Leis importantes (vou usá‑las explicitamente depois):
    • De Morgan: (X+Y)' = X' \cdot Y',\qquad (X\cdot Y)' = X' + Y'.
    • Distributiva: X\cdot(Y+Z) = X\cdot Y + X\cdot Z.
    • Complemento e identidade: X + X' = 1,\qquad X\cdot X' = 0.
    • Absorção: X + X\cdot Y = X,\qquad X\cdot (X+Y)=X.
    • Consenso (útil para reduzir): X\cdot Y + X'\cdot Z + Y\cdot Z = X\cdot Y + X'\cdot Z.(o termo Y\cdot Z é o termo de consenso que pode ser removido).
  • Como expandir para forma canônica (SOP): cada soma de produtos canônico tem produtos com todas as variáveis (cada literal é A ou A', B ou B', C ou C'). Para obter isso, multiplica-se um termo que não tem todas as variáveis por (X+X') apropriado; por exemplo:
    AB = AB(C+C') = ABC + ABC'.
    Assim cada produto sem C gera dois mintermos.

Passo 3

Aplicar De Morgan ao termo complementado dentro da expressão original e simplificar esse pedaço.
Temos o termo complementado \bigl(A'\!B + A B'\bigr)'. Aplicando De Morgan (X+Y)'=X'Y' com X=A'B e Y=AB':
\bigl(A'\!B + A B'\bigr)' = (A'B)'\cdot(AB')'.
Agora aplicar (XY)'=X'+Y' ou direto o complemento de um produto: (A'B)' = A + B' e (AB')' = A' + B. Portanto
\bigl(A'\!B + A B'\bigr)' = (A + B')\cdot(A' + B).
Expandindo o produto (distributiva):
(A + B')\cdot(A' + B) = A A' + A B + A' B' + B' B.
Usando A A' = 0 e B' B=0, sobra
(A + B')\cdot(A' + B) = A B + A' B'.
Portanto a parte complementada virou exatamente os termos de equivalência (XNOR):
\bigl(A'\!B + A B'\bigr)' = A B + A' B'.

Passo 4

Agora reescrever F usando esse resultado e expandir para a forma canônica SOP.
Substituindo na expressão original:
F = A\cdot C' + \bigl(A'\!B + A B'\bigr)' = A\cdot C' + A B + A' B'.
Para obter a forma canônica (cada produto contendo A, B e C), transformo cada termo que não tem todas as variáveis em mintermos:
  1. Para A' B' (não tem C):
A'B' = A'B'(C + C') = A'B' C + A'B' C'.
  1. Para A B:
A B = AB(C + C') = A B C + A B C'.
  1. Para A C' (já tem A e C', falta B):
A C' = AC'(B + B') = A B C' + A B' C'.
Agora somo todos os mintermos obtidos. Cuidado com sobreposição: ao juntar, alguns mintermos podem aparecer mais de uma vez; na soma lógica duas ocorrências não importam (soma idempotente), então basta listar cada mintermo uma vez. Juntando:
  • De A'B': A'B' C' e A'B' C.
  • De AB: A B C' e A B C.
  • De A C': A B C' (já aparece) e A B' C'.
Portanto a forma canônica SOP (soma de todos os mintermos onde F=1) é:
F = A' B' C' + A' B' C + A B' C' + A B C' + A B C.
Esta é a FC SOP (cada termo é um mintermo com três literais).

Passo 5

Fazer uma pequena verificação/algebra para obter uma expressão reduzida (SOP reduzida) a partir da forma não-canônica obtida antes e justificar a redução.
A partir de F = A C' + A B + A' B' (forma obtida no Passo 4 antes de expandir), podemos agrupar termos:
  • Observe que A'B'C' + A'B'C = A'B'(C' + C) = A'B'. Então os dois primeiros mintermos da forma canônica reduzem para A'B'.
  • Observe que A B C' + A B C = A B (C' + C) = A B. Então os dois mintermos correspondentes reduzem para A B.
  • Ficou ainda A B' C' (o mintermo A B' C') que não foi absorvido pelos outros. Mas podemos relacionar essa forma com a expressão anterior sem mintermos:
Voltando à expressão não-canônica:
F = A\cdot C' + A B + A' B'.
Podemos escrever também
F = A' B' + A(B + C').
Expandindo A(B + C') volta-se a AB + AC'. Assim uma forma reduzida (com poucos termos) é:
F = A'B' + A B + A C'.
Esta é uma soma de produtos reduzida (cada termo têm duas literais ou menos; não há termos com apenas uma literal redundante). Também é possível apresentar uma forma equivalente diferente (por exemplo F = A'B' + AB + B'C'), mas vou adotar a forma
F = A' B' + A B + A C'
porque aparece diretamente das simplificações e tem três implicantes de duas literais (independentemente da escolha alternativa, três termos são necessários — justificação abaixo).

Passo 6

Justificação via mapa de Karnaugh (intuição de cobertura) — por que precisamos desses três termos e por que essa expressão é mínima (intuição, sem desenhar um mapa gráfico):
  • Mintermos onde F=1: índices \{0,1,4,6,7\} (em termos binários 000,001,100,110,111).
  • Implicantes candidatos (pares adjacentes):
    • A'B' cobre 000 e 001 (essencial para cobrir o mintermo 001 que só ele cobre).
    • AB cobre 110 e 111 (essencial para cobrir 111).
    • Para cobrir o mintermo 100 restando, é preciso um implicante que o contenha; ao escolher A C' (cobre 100 e 110) ou B' C' (cobre 000 e 100), em qualquer escolha precisa-se de três implicantes no total. Assim três termos de duas literais é o menor número possível neste caso.
  • Conclusão: a expressão em três termos dois‑litares A'B' + AB + AC' é uma SOP reduzida (mínima em número e tamanho de implicantes no sentido usual para dois níveis).

Passo 7

Montar a tabela verdade pedida: colunas para cada mintermo da forma canônica (os termos que surgiram no Passo 4), colunas para os termos reduzidos (usados na forma reduzida) e uma coluna final para F. Vou listar as linhas na ordem binária A\,B\,C = 000,001,\dots,111.
Cabeçalho das colunas:
A B C \;|\; A'B'C' A'B'C A B' C' A B C' A B C \;|\; A'B' A B A C' \;|\; F
Agora cada linha (cada valor dentro de \(... )):
0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1 \n
0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1 \n
0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0 \n
0\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0 \n
1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 1 \n
1\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0 \n
1\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 1 \n
1\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 1
(Explicação rápida da ordem das colunas: os cinco primeiros números após a barra são os mintermos canônicos \,A'B'C',A'B'C,AB'C',ABC',ABC, depois vêm os três termos reduzidos A'B',AB,AC', e por fim F. Cada valor é 0 ou 1.)

Resposta

F_{\text{FC SOP}} = A' B' C' + A' B' C + A B' C' + A B C' + A B C
F_{\text{reduzida (SOP)}} = A' B' + A B + A C'
Tabela‑verdade (colunas: A\\ B\\ C\;|\;A'B'C'\\ A'B'C\\ AB'C'\\ ABC'\\ ABC\;|\;A'B'\\ AB\\ AC'\;|\;F):
0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1
0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1
0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0
0\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0
1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 1
1\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0
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1\\\ 1\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 1

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