Dada a equação booleana,
a. usando as propriedades da álgebra booleana, expanda-a algebricamente até a FC (forma canônica) SOP
b. forneça a FC reduzida SOP
c. preencha sua TV, colocando uma coluna para cada termo acima, e uma para F
a. usando as propriedades da álgebra booleana, expanda-a algebricamente até a FC (forma canônica) SOP
b. forneça a FC reduzida SOP
c. preencha sua TV, colocando uma coluna para cada termo acima, e uma para F
Passo 1
Vou resgatar com clareza o que o enunciado pede e quais informações temos (sem resolver ainda).
-
A função booleana dada é
-
O que se pede:
a. Expandir algebricamente até obter a FC (forma canônica) SOP — isto é, escrevercomo soma de mintermos (produtos com todas as variáveis).
b. Fornecer a forma canônica reduzida (SOP reduzida), isto é, a expressão simplificada em soma de produtos mínima (ou ao menos reduzida).
c. Preencher a tabela verdade (TV), colocando uma coluna para cada termo usado acima e uma coluna para. -
Variáveis envolvidas:
, , . Complemento de será escrito como . Produto lógico como (ou simplesmente adjacência) e soma lógica como .
Passo 2
Pequena revisão didática das regras e teoremas que vou usar (passo-a-passo, sem pressa).
-
Operadores básicos:
-
é o OR lógico (soma). Resultado é 1 se ou . -
é o AND lógico (produto). Resultado é 1 só se e . -
é o complemento (NOT). Se então , e vice-versa.
-
-
Leis importantes (vou usá‑las explicitamente depois):
- De Morgan:
- Distributiva:
- Complemento e identidade:
- Absorção:
- Consenso (útil para reduzir):
(o termo é o termo de consenso que pode ser removido).
- De Morgan:
-
Como expandir para forma canônica (SOP): cada soma de produtos canônico tem produtos com todas as variáveis (cada literal é
ou , ou , ou ). Para obter isso, multiplica-se um termo que não tem todas as variáveis por apropriado; por exemplo: Assim cada produto semgera dois mintermos.
Passo 3
Aplicar De Morgan ao termo complementado dentro da expressão original e simplificar esse pedaço.
Temos o termo complementado
. Aplicando De Morgan
com
e
:
Agora aplicar
ou direto o complemento de um produto:
e
. Portanto
Expandindo o produto (distributiva):
Usando
e
, sobra
Portanto a parte complementada virou exatamente os termos de equivalência (XNOR):
Passo 4
Agora reescrever
usando esse resultado e expandir para a forma canônica SOP.
Substituindo na expressão original:
Para obter a forma canônica (cada produto contendo
,
e
), transformo cada termo que não tem todas as variáveis em mintermos:
- Para
(não tem ):
- Para
:
- Para
(já tem e , falta ):
Agora somo todos os mintermos obtidos. Cuidado com sobreposição: ao juntar, alguns mintermos podem aparecer mais de uma vez; na soma lógica duas ocorrências não importam (soma idempotente), então basta listar cada mintermo uma vez. Juntando:
- De
: e . - De
: e . - De
: (já aparece) e .
Portanto a forma canônica SOP (soma de todos os mintermos onde
) é:
Esta é a FC SOP (cada termo é um mintermo com três literais).
Passo 5
Fazer uma pequena verificação/algebra para obter uma expressão reduzida (SOP reduzida) a partir da forma não-canônica obtida antes e justificar a redução.
A partir de
(forma obtida no Passo 4 antes de expandir), podemos agrupar termos:
- Observe que
. Então os dois primeiros mintermos da forma canônica reduzem para . - Observe que
. Então os dois mintermos correspondentes reduzem para . - Ficou ainda
(o mintermo ) que não foi absorvido pelos outros. Mas podemos relacionar essa forma com a expressão anterior sem mintermos:
Voltando à expressão não-canônica:
Podemos escrever também
Expandindo
volta-se a
. Assim uma forma reduzida (com poucos termos) é:
Esta é uma soma de produtos reduzida (cada termo têm duas literais ou menos; não há termos com apenas uma literal redundante). Também é possível apresentar uma forma equivalente diferente (por exemplo
), mas vou adotar a forma
porque aparece diretamente das simplificações e tem três implicantes de duas literais (independentemente da escolha alternativa, três termos são necessários — justificação abaixo).
Passo 6
Justificação via mapa de Karnaugh (intuição de cobertura) — por que precisamos desses três termos e por que essa expressão é mínima (intuição, sem desenhar um mapa gráfico):
- Mintermos onde
: índices (em termos binários ). - Implicantes candidatos (pares adjacentes):
-
cobre e (essencial para cobrir o mintermo que só ele cobre). -
cobre e (essencial para cobrir ). - Para cobrir o mintermo
restando, é preciso um implicante que o contenha; ao escolher (cobre e ) ou (cobre e ), em qualquer escolha precisa-se de três implicantes no total. Assim três termos de duas literais é o menor número possível neste caso.
-
- Conclusão: a expressão em três termos dois‑litares
é uma SOP reduzida (mínima em número e tamanho de implicantes no sentido usual para dois níveis).
Passo 7
Montar a tabela verdade pedida: colunas para cada mintermo da forma canônica (os termos que surgiram no Passo 4), colunas para os termos reduzidos (usados na forma reduzida) e uma coluna final para
. Vou listar as linhas na ordem binária
.
Cabeçalho das colunas:
Agora cada linha (cada valor dentro de
)):
(Explicação rápida da ordem das colunas: os cinco primeiros números após a barra são os mintermos canônicos
, depois vêm os três termos reduzidos
, e por fim
. Cada valor é
ou
.)
Resposta
Tabela‑verdade (colunas:
):