Simplifique as expressões, usando sempre que possível as propriedades da potência:
\left(5 a b^{2}\right)^{2} \cdot\left(a^{2} b\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão abaixo, usando propriedades de potência:
\left(5 a b^{2}\right)^{2} \cdot\left(a^{2} b\right)^{3}.
Informações dadas:
  • A expressão é um produto de duas potências: \left(5 a b^{2}\right)^{2} e \left(a^{2} b\right)^{3}.
  • O objetivo é reduzir essa expressão a uma forma mais simples, reunindo coeficientes numéricos e somando expoentes das mesmas bases.

Passo 2

Lembrando as propriedades de potência que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Potência de um produto: \left(xy\right)^{n} = x^{n} y^{n}. Isso significa que quando uma potência envolve um produto, cada fator do produto também é elevado àquela potência.
  • Potência de potência: \left(x^{m}\right)^{n} = x^{m n}. Ou seja, multiplica-se os expoentes.
  • Produto de potências de mesma base: x^{p}\cdot x^{q} = x^{p+q}. Ao multiplicar termos com a mesma base, somam-se os expoentes.
    Aqui x,y representam fatores quaisquer (números ou variáveis) e m,n,p,q representam expoentes inteiros.

Passo 3

Aplico a propriedade “potência de um produto” à primeira parcela \left(5 a b^{2}\right)^{2}:
\left(5 a b^{2}\right)^{2} = 5^{2}\cdot a^{2}\cdot \left(b^{2}\right)^{2}.
Agora uso “potência de potência” em \left(b^{2}\right)^{2}:
\left(b^{2}\right)^{2} = b^{2\cdot 2} = b^{4}.
Portanto:
\left(5 a b^{2}\right)^{2} = 5^{2}\, a^{2}\, b^{4} = 25\, a^{2}\, b^{4}.

Passo 4

Aplico as mesmas propriedades à segunda parcela \left(a^{2} b\right)^{3}:
\left(a^{2} b\right)^{3} = \left(a^{2}\right)^{3}\cdot b^{3}.
Usando “potência de potência” em \left(a^{2}\right)^{3}:
\left(a^{2}\right)^{3} = a^{2\cdot 3} = a^{6}.
Logo:
\left(a^{2} b\right)^{3} = a^{6}\, b^{3}.

Passo 5

Multiplico as duas parcelas já simplificadas:
\left(25\, a^{2}\, b^{4}\right)\cdot\left(a^{6}\, b^{3}\right).
  • Multiplico os coeficientes numéricos: 25\cdot 1 = 25.
  • Para a base a: uso a^{2}\cdot a^{6} = a^{2+6} = a^{8}.
  • Para a base b: uso b^{4}\cdot b^{3} = b^{4+3} = b^{7}.
    Assim obtemos
25\, a^{8}\, b^{7}.

Resposta

25\, a^{8}\, b^{7}