Simplifique:
\frac{\frac{3 a^{2}}{2 a^{2}-2}-\frac{a}{a-1}}{\frac{5 a}{4 a+4}-\frac{a^{2}}{a^{2}-1}}: \frac{a-2}{a-5}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{\displaystyle\frac{3a^{2}}{2a^{2}-2}-\frac{a}{a-1}}{\displaystyle\frac{5a}{4a+4}-\frac{a^{2}}{a^{2}-1}} : \frac{a-2}{a-5}.
O conteúdo é simplificação de frações algébricas: vamos fatorar denominadores, somar/subtrair frações, dividir fração por fração e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Simplificamos o numerador interno
N = \frac{3a^{2}}{2a^{2}-2} - \frac{a}{a-1}.
Note que 2a^{2}-2 = 2(a-1)(a+1). Então
\frac{3a^{2}}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a}{a-1} = \frac{3a^{2}}{2(a-1)(a+1)} - \frac{2a(a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3a^{2} - 2a(a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^{2}-2a}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a(a-2)}{2(a-1)(a+1)}.

Passo 3

Agora o denominador interno
D = \frac{5a}{4a+4} - \frac{a^{2}}{a^{2}-1}.
Aqui 4a+4=4(a+1) e a^{2}-1=(a-1)(a+1). Logo
\frac{5a}{4(a+1)} - \frac{a^{2}}{(a-1)(a+1)} = \frac{5a(a-1)}{4(a-1)(a+1)} - \frac{4a^{2}}{4(a-1)(a+1)} = \frac{5a(a-1)-4a^{2}}{4(a-1)(a+1)} = \frac{a^{2}-5a}{4(a-1)(a+1)} = \frac{a(a-5)}{4(a-1)(a+1)}.

Passo 4

Formamos a fração principal N/D e simplificamos:
\frac{\frac{a(a-2)}{2(a-1)(a+1)}}{\frac{a(a-5)}{4(a-1)(a+1)}} = \frac{a(a-2)}{2(a-1)(a+1)}\;\cdot\;\frac{4(a-1)(a+1)}{a(a-5)} = \frac{4}{2}\,\frac{a(a-2)}{a(a-5)} = 2\,\frac{a-2}{a-5}.

Passo 5

Finalmente dividimos pelo terceiro fator \frac{a-2}{a-5}:
2\,\frac{a-2}{a-5} : \frac{a-2}{a-5} = 2\,\frac{a-2}{a-5}\;\cdot\;\frac{a-5}{a-2} = 2.

Resposta

2

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