Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, h \neq 0, dada a funçĩo:
f(x)=x^{3}-x

Passo 1

O que o problema pede: simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h \neq 0, onde foi dada a função \;f(x)=x^{3}-x.\n
Informações fornecidas:
\;f(x)=x^{3}-x.
\;h\neq 0.
A tarefa é fazer a álgebra e deixar o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} na forma mais simples possível.

Passo 2

Calcular f(x+h). Substituímos x por x+h em f:
f(x+h)=(x+h)^{3}-(x+h).
Agora usamos a expansão do cubo de uma soma (fórmula do binômio):
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Portanto,
f(x+h)=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x-h.

Passo 3

Escrever o numerador f(x+h)-f(x) substituindo f(x+h) e f(x):
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x-h\bigr)-\bigl(x^{3}-x\bigr).
Agora desenvolvemos e cancelamos termos idênticos: o x^{3} do primeiro parêntese cancela com o -x^{3} do segundo; o -x do primeiro parêntese cancela com o +x do segundo. Ficamos com
f(x+h)-f(x)=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-h.

Passo 4

Colocar o numerador em evidência fatorando h (isso é útil porque depois dividiremos por h). Fatorando h temos:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}-1\bigr).
Explicando a técnica: ao fatorar h tiramos de cada termo do numerador um fator comum h; por exemplo 3x^{2}h = h\cdot 3x^{2}, 3xh^{2}=h\cdot 3xh, h^{3}=h\cdot h^{2} e -h=h\cdot(-1).

Passo 5

Agora dividimos pelo h pedido no quociente. Como o problema garante h\neq 0, é permitido simplificar cancelando h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}-1\bigr)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}-1.
Esse é o resultado simplificado do quociente. Observação didática: essa expressão é o quociente diferencial (diferença incremental) da função; se você tirar o limite quando h\to 0, obtém a derivada \;3x^{2}-1, mas para esta questão o pedido era apenas simplificar o quociente para h\neq 0.

Resposta

3x^{2}+3xh+h^{2}-1