Simplifique as seguintes expressões:
(a) (a+b)^{5}-(a-b)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão (a+b)^{5}-(a-b)^{4}.
As informações dadas são apenas as letras \,a e \,b (variáveis quaisquer). O objetivo é desenvolver/combinar os termos para obter uma forma polinomial simplificada.

Passo 2

Vou usar o Teorema do Binômio para expandir cada potência. O Teorema do Binômio diz que, para inteiro n\ge0,
(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}y^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Isso significa: pego os coeficientes da linha n do triângulo de Pascal e multiplico por potências decrescentes de x e crescentes de y.

Passo 3

Expando (a+b)^5 usando os coeficientes \binom{5}{k}, que são 1,5,10,10,5,1:
(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5.

Passo 4

Expando (a-b)^4. Aqui uso \binom{4}{k} que são 1,4,6,4,1 e o fato de que (a-b)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}a^{4-k}(-b)^k, ou seja sinais alternam conforme (-1)^k. Assim:
(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4.

Passo 5

Agora escrevo a diferença com as duas expansões:
(a+b)^5-(a-b)^4 = \bigl(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\bigr) - \bigl(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\bigr).

Passo 6

Distribuo o sinal negativo na segunda parcela:
-(a-b)^4 = -a^4 + 4a^3b - 6a^2b^2 + 4ab^3 - b^4.
Somando termo a termo:
(a+b)^5-(a-b)^4 = a^5 \;+\; (-a^4) \;+\; 5a^4b \;+\; 4a^3b \;+\; 10a^3b^2 \;-\; 6a^2b^2 \;+\; 10a^2b^3 \;+\; 4ab^3 \;+\; 5ab^4 \;+\; b^5 \;-\; b^4.

Passo 7

Agrupo os termos de forma ordenada (por potências decrescentes de a e, em cada grau, pelos expoentes de b) para apresentar o polinômio final:
(a+b)^5-(a-b)^4 = a^5 - a^4 + 5a^4b + 4a^3b + 10a^3b^2 - 6a^2b^2 + 10a^2b^3 + 4ab^3 + 5ab^4 + b^5 - b^4.

Resposta

a^5 - a^4 + 5a^4b + 4a^3b + 10a^3b^2 - 6a^2b^2 + 10a^2b^3 + 4ab^3 + 5ab^4 + b^5 - b^4