\sin (x-0,5)-x+0,8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sin(x-0,5)-x+0,8=0
ou seja, encontrar os valores de x\in\mathbb{R} que satisfazem essa igualdade.
Informações dadas:
  • A equação é transcendente (envolve \sin e x linear).
  • Não há outras condições explícitas (procura-se as soluções reais).
O objetivo daqui para frente é mostrar um método seguro para encontrar a(s) solução(ões), explicar por que existe e é única, e calcular a raiz aproximada com passos que você consiga reproduzir na prova.

Passo 2

Defino a função cujo zero queremos:
f(x)=\sin(x-0,5)-x+0,8.
Para estudar existência e unicidade, calculo a derivada:
f'(x)=\cos(x-0,5)-1.
Agora, observe que para todo x vale \cos(x-0,5)\le 1, logo
f'(x)=\cos(x-0,5)-1\le 0.
Isto significa que f é não crescente (na prática, estritamente decrescente salvo em pontos isolados onde \cos(x-0,5)=1). Além disso, como \sin é limitada, quando x\to-\infty temos f(x)\to +\infty (porque -x domina) e quando x\to+\infty temos f(x)\to -\infty. Pela continuidade de f e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz real; pela monotonicidade (função decrescente) essa raiz é única. Portanto há exatamente uma solução real.

Passo 3

Agora vamos localizar um intervalo onde a raiz está, avaliando f em alguns pontos:
f(0)=\sin(0-0,5)-0+0,8=\sin(-0,5)+0,8\approx -0,479425539+0,8=0,320574461>0.
f(2)=\sin(2-0,5)-2+0,8=\sin(1,5)-1,2\approx 0,997494987-1,2=-0,202505013<0.
Como f(0)>0 e f(2)<0 e f é contínua, a raiz única está no intervalo [0,2]. Podemos estreitar mais:
Calculo alguns pontos interiores (usar tabelinha de \sin ou uma calculadora para avaliar \sin com razoável precisão; aqui seguem valores padrão):
f(1,5)=\sin(1,5-0,5)-1,5+0,8=\sin(1,0)-0,7\approx 0,8414709848-0,7=0,1414709848>0.
f(1,8)=\sin(1,8-0,5)-1,8+0,8=\sin(1,3)-1,0\approx 0,9635581854-1,0=-0,0364418146<0.
Logo a raiz está em [1,5,\,1,8]. Continuando a estreitar:
f(1,7)=\sin(1,7-0,5)-1,7+0,8=\sin(1,2)-0,9\approx 0,9320390859-0,9=0,0320390859>0.
f(1,75)=\sin(1,75-0,5)-1,75+0,8=\sin(1,25)-0,95\approx 0,9489846194-0,95=-0,0010153806<0.
Portanto a raiz está em [1,7,\,1,75].

Passo 4

Aplicarei o método da bisseção (método robusto, fácil de reproduzir em prova) dentro de [1,7,\,1,75] até atingir precisão desejada. Regra da bisseção: a cada passo escolher ponto médio m, avaliar f(m); substituir a extremidade cujo valor tem mesmo sinal que f(m).
  1. Intervalo [1,7,\,1,75]. Ponto médio m_1=1,725.
f(1,725)=\sin(1,225)-1,725+0,8\approx 0,9405117309-0,925=0,0155117309>0.
Então nova cópia: raiz em [1,725,\,1,75].
  1. Intervalo [1,725,\,1,75]. Ponto médio m_2=1,7375.
f(1,7375)=\sin(1,2375)-1,7375+0,8\approx 0,9447481246-0,9375=0,0072481246>0.
Nova cópia: raiz em [1,7375,\,1,75].
  1. Intervalo [1,7375,\,1,75]. Ponto médio m_3=1,74375.
f(1,74375)=\sin(1,24375)-1,74375+0,8\approx 0,9468664206-0,94375=0,0031164206>0.
Nova cópia: raiz em [1,74375,\,1,75].
  1. Intervalo [1,74375,\,1,75]. Ponto médio m_4=1,746875.
f(1,746875)=\sin(1,246875)-1,746875+0,8\approx 0,9479255964-0,946875=0,0010505964>0.
Nova cópia: raiz em [1,746875,\,1,75].
  1. Intervalo [1,746875,\,1,75]. Ponto médio m_5=1,7484375.
f(1,7484375)=\sin(1,2484375)-1,7484375+0,8\approx 0,9484551279-0,9484375=0,0000176279>0.
Ainda positivo, então raiz em [1,7484375,\,1,75].
  1. Intervalo [1,7484375,\,1,75]. Ponto médio m_6=1,74921875.
f(1,74921875)=\sin(1,24921875)-1,74921875+0,8\approx 0,9487198761-0,94921875=-0,0004988739<0.
Agora negativo, então a raiz está em [1,7484375,\,1,74921875].
Depois do passo 6, o comprimento do intervalo é 1,74921875-1,7484375=0,00078125. A bisseção garante que a raiz está no intervalo com largura 0,00078125, logo podemos dar a raiz com quatro casas decimais seguras. O ponto médio desse último intervalo é
m=\frac{1,7484375+1,74921875}{2}=1,748828125.
Como f(1,7484375)>0 e f(1,74921875)<0, a raiz está muito próxima de 1,7488. Se quisermos arredondar para quatro casas decimais, concordamos com
x\approx 1,7484.
(Nota: quem preferir um método mais rápido usa Newton; mas ele exige calcular \cos e pode convergir muito rápido se tiver boa aproximação inicial. A bisseção é lenta mas sempre segura e fácil de executar manualmente.)

Passo 5

Resumo pedagógico rápido do que foi usado (para a sua prova):
  • Para equações com \sin e termos lineares pense em transformar em f(x)=0 e estude f (continuidade e monotonicidade) para garantir existência e unicidade.
  • Para encontrar a raiz numericamente, bisseção é um método que só exige avaliações de f (aqui de \sin), e reduz o intervalo em metade a cada passo; controlando o número de iterações você garante uma precisão desejada.
  • Em provas, mostre que f é decrescente (derivada não positiva) para justificar unicidade, e depois faça bisseção até a precisão requerida.

Resposta

x\approx 1,7484

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