Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade.
Informações dadas:
- A equação é transcendente (envolve
e linear). - Não há outras condições explícitas (procura-se as soluções reais).
O objetivo daqui para frente é mostrar um método seguro para encontrar a(s) solução(ões), explicar por que existe e é única, e calcular a raiz aproximada com passos que você consiga reproduzir na prova.
Passo 2
Defino a função cujo zero queremos:
Para estudar existência e unicidade, calculo a derivada:
Agora, observe que para todo
vale
, logo
Isto significa que
é não crescente (na prática, estritamente decrescente salvo em pontos isolados onde
). Além disso, como
é limitada, quando
temos
(porque
domina) e quando
temos
. Pela continuidade de
e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz real; pela monotonicidade (função decrescente) essa raiz é única. Portanto há exatamente uma solução real.
Passo 3
Agora vamos localizar um intervalo onde a raiz está, avaliando
em alguns pontos:
Como
e
e
é contínua, a raiz única está no intervalo
. Podemos estreitar mais:
Calculo alguns pontos interiores (usar tabelinha de
ou uma calculadora para avaliar
com razoável precisão; aqui seguem valores padrão):
Logo a raiz está em
. Continuando a estreitar:
Portanto a raiz está em
.
Passo 4
Aplicarei o método da bisseção (método robusto, fácil de reproduzir em prova) dentro de
até atingir precisão desejada. Regra da bisseção: a cada passo escolher ponto médio
, avaliar
; substituir a extremidade cujo valor tem mesmo sinal que
.
- Intervalo
. Ponto médio .
Então nova cópia: raiz em
.
- Intervalo
. Ponto médio .
Nova cópia: raiz em
.
- Intervalo
. Ponto médio .
Nova cópia: raiz em
.
- Intervalo
. Ponto médio .
Nova cópia: raiz em
.
- Intervalo
. Ponto médio .
Ainda positivo, então raiz em
.
- Intervalo
. Ponto médio .
Agora negativo, então a raiz está em
.
Depois do passo 6, o comprimento do intervalo é
. A bisseção garante que a raiz está no intervalo com largura
, logo podemos dar a raiz com quatro casas decimais seguras. O ponto médio desse último intervalo é
Como
e
, a raiz está muito próxima de
. Se quisermos arredondar para quatro casas decimais, concordamos com
(Nota: quem preferir um método mais rápido usa Newton; mas ele exige calcular
e pode convergir muito rápido se tiver boa aproximação inicial. A bisseção é lenta mas sempre segura e fácil de executar manualmente.)
Passo 5
Resumo pedagógico rápido do que foi usado (para a sua prova):
- Para equações com
e termos lineares pense em transformar em e estude (continuidade e monotonicidade) para garantir existência e unicidade. - Para encontrar a raiz numericamente, bisseção é um método que só exige avaliações de
(aqui de ), e reduz o intervalo em metade a cada passo; controlando o número de iterações você garante uma precisão desejada. - Em provas, mostre que
é decrescente (derivada não positiva) para justificar unicidade, e depois faça bisseção até a precisão requerida.