Dê o sinal de cada um dos números seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o sinal de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número a analisar é
(ângulo em radianos). - A operação é a função seno aplicada a esse ângulo,
.
Não se faz ainda nenhuma conclusão nesta etapa — só organizamos o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Entendendo o que significa o sinal do seno (uma mini-aula):
- Na interpretação geométrica pelo círculo trigonométrico, para um ângulo
medido a partir do eixo positivo , o valor é a coordenada do ponto correspondente na circunferência de raio 1. - Assim, se o ponto estiver acima do eixo
(coordenada ), o seno é positivo; se estiver abaixo (coordenada ), o seno é negativo; se estiver sobre o eixo , o seno é zero. - Em termos de intervalos de radianos:
quando (ângulos no primeiro e segundo quadrantes). Em particular, no primeiro quadrante o seno é positivo e cresce de a .
Passo 3
Colocando o ângulo numa forma mais intuitiva (graus) e verificando em que quadrante ele está:
- Converter para graus:
rad corresponde a . - Em radianos,
satisfaz . Portanto esse ângulo está no primeiro quadrante.
Passo 4
Uma verificação algébrica (fórmula do semângulo) que também mostra o sinal sem depender só do desenho:
- A fórmula de semângulo diz que, para
,
o sinal
depende do quadrante de
.
- Tomando
(porque ), tem-se . Então
(Aqui foi escolhida a raiz quadrada positiva porque
está no primeiro quadrante, onde o seno toma a raiz positiva.)
Passo 5
Cálculo aproximado para verificação numérica rápida:
-
então . -
e .
Isso confirma que o valor obtido por semângulo é um número maior que zero.