Dê o sinal de cada um dos números seguintes:
\operatorname{Sen} \frac{\pi}{8}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o sinal de \operatorname{Sen}\dfrac{\pi}{8}.
Informações dadas:
  • O número a analisar é \dfrac{\pi}{8} (ângulo em radianos).
  • A operação é a função seno aplicada a esse ângulo, \operatorname{Sen}\!\bigl(\dfrac{\pi}{8}\bigr).
    Não se faz ainda nenhuma conclusão nesta etapa — só organizamos o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Entendendo o que significa o sinal do seno (uma mini-aula):
  • Na interpretação geométrica pelo círculo trigonométrico, para um ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x, o valor \sin\theta é a coordenada y do ponto correspondente na circunferência de raio 1.
  • Assim, se o ponto estiver acima do eixo x (coordenada y>0), o seno é positivo; se estiver abaixo (coordenada y<0), o seno é negativo; se estiver sobre o eixo x, o seno é zero.
  • Em termos de intervalos de radianos: \sin\theta>0 quando 0<\theta<\pi (ângulos no primeiro e segundo quadrantes). Em particular, no primeiro quadrante 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} o seno é positivo e cresce de 0 a 1.

Passo 3

Colocando o ângulo numa forma mais intuitiva (graus) e verificando em que quadrante ele está:
  • Converter para graus: \dfrac{\pi}{8} rad corresponde a \dfrac{180^\circ}{8}=22{,}5^\circ.
  • Em radianos, \dfrac{\pi}{8} satisfaz 0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}. Portanto esse ângulo está no primeiro quadrante.

Passo 4

Uma verificação algébrica (fórmula do semângulo) que também mostra o sinal sem depender só do desenho:
  • A fórmula de semângulo diz que, para 0<\alpha<\pi,
\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},
o sinal \pm depende do quadrante de \dfrac{\alpha}{2}.
  • Tomando \alpha=\dfrac{\pi}{4} (porque \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\pi}{8}), tem-se \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
(Aqui foi escolhida a raiz quadrada positiva porque \dfrac{\pi}{8} está no primeiro quadrante, onde o seno toma a raiz positiva.)

Passo 5

Cálculo aproximado para verificação numérica rápida:
  • \sqrt{2}\approx1{,}4142 então 2-\sqrt{2}\approx0{,}5858.
  • \sqrt{0{,}5858}\approx0{,}7654 e \dfrac{0{,}7654}{2}\approx0{,}3827.
    Isso confirma que o valor obtido por semângulo é um número maior que zero.

Resposta

\operatorname{Sen}\dfrac{\pi}{8}>0