O sinal de tempo discreto x[n] é definido por
x[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n=1 \\\\ -1, n=-1 \\\\ 0, n=0 \text { e }|n|>1 \end{array}\right.
Encontre o sinal composto \mathrm{y}[\mathrm{n}] definido em termos de \mathrm{x}[\mathrm{n}] por y[n]=x[n]+x[-n].

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto x[n]\) definido por: \[x[n]=\begin{cases} 1, & n=1,\\[4pt] -1, & n=-1,\\[4pt] 0, & n=0 \text{ e } |n|>1. \end{cases}
O que se pede: encontrar o sinal y[n]\] definido por \(y[n]=x[n]+x[-n].
Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
  • n é o índice de tempo discreto e toma valores inteiros ( n\in\mathbb{Z}).
  • x[-n] é o mesmo sinal x com o índice invertido (tempo-reversão): para cada n avalia-se x na posição -n.]

Passo 2

Vou calcular explicitamente x[-n] nos pontos onde x pode ser não nulo. Como x só é não nulo em n=1 e n=-1, basta verificar x[-n] para esses índices e também para n=0 e para |n|>1.
  • Para n=1:
    • x[1]=1 (dado).
    • x[-1]=-1 (peguei do enunciado).
    • Então y[1]=x[1]+x[-1]=1+(-1)=0.
  • Para n=-1:
    • x[-1]=-1 (dado).
    • x[1]=1 (peguei do enunciado).
    • Então y[-1]=x[-1]+x[1]=-1+1=0.

Passo 3

Agora os demais casos:
  • Para n=0:
    • x[0]=0 (dado).
    • x[-0]=x[0]=0.
    • Portanto y[0]=x[0]+x[-0]=0+0=0.
  • Para |n|>1:
    • Pelo enunciado, x[n]=0 e então x[-n]=0 também (porque |-n|=|n|>1).
    • Logo y[n]=x[n]+x[-n]=0+0=0\qquad\text{para }|n|>1.

Passo 4

Uma observação conceitual que ajuda a entender mais rápido na prova: o sinal x[n] é ímpar, pois para todo n vale x[-n]=-x[n] (verificado pelos valores dados em n=1,-1,0). Para um sinal ímpar, a soma x[n]+x[-n] é sempre zero. Isso explica de forma geral por que todos os valores de y[n] ficaram nulos sem precisar testar além dos pontos não nulos.

Resposta

y[n]=0,\quad \forall n\in\mathbb{Z}.

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