Encontre o sinal composto \mathrm{y}[\mathrm{n}] definido em termos de \mathrm{x}[\mathrm{n}] por y[n]=x[n]+x[-n].
Passo 1
O enunciado dá o sinal discreto x[n]\) definido por:
\[x[n]=\begin{cases} 1, & n=1,\\[4pt] -1, & n=-1,\\[4pt] 0, & n=0 \text{ e } |n|>1. \end{cases}
O que se pede: encontrar o sinal y[n]\] definido por \(y[n]=x[n]+x[-n].
Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
n é o índice de tempo discreto e toma valores inteiros (n\in\mathbb{Z}).
x[-n] é o mesmo sinal x com o índice invertido (tempo-reversão): para cada n avalia-se x na posição -n.]
Passo 2
Vou calcular explicitamente x[-n] nos pontos onde x pode ser não nulo. Como x só é não nulo em n=1 e n=-1, basta verificar x[-n] para esses índices e também para n=0 e para |n|>1.
Para n=1:
x[1]=1 (dado).
x[-1]=-1 (peguei do enunciado).
Entãoy[1]=x[1]+x[-1]=1+(-1)=0.
Para n=-1:
x[-1]=-1 (dado).
x[1]=1 (peguei do enunciado).
Entãoy[-1]=x[-1]+x[1]=-1+1=0.
Passo 3
Agora os demais casos:
Para n=0:
x[0]=0 (dado).
x[-0]=x[0]=0.
Portantoy[0]=x[0]+x[-0]=0+0=0.
Para |n|>1:
Pelo enunciado, x[n]=0 e então x[-n]=0 também (porque |-n|=|n|>1).
Logoy[n]=x[n]+x[-n]=0+0=0\qquad\text{para }|n|>1.
Passo 4
Uma observação conceitual que ajuda a entender mais rápido na prova: o sinal x[n] é ímpar, pois para todo n vale x[-n]=-x[n] (verificado pelos valores dados em n=1,-1,0). Para um sinal ímpar, a soma x[n]+x[-n] é sempre zero. Isso explica de forma geral por que todos os valores de y[n] ficaram nulos sem precisar testar além dos pontos não nulos.