Sendo g(t)=\cos \left(\omega_{1} t\right) e h(t)=\cos \left(\omega_{1} t+\varphi\right), determine a expressão de s(t)=g(t) h(t). Escolha três valores para \varphi e esboce o sinal resultante.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
  • São dadas as funções g(t)=\cos\!\bigl(\omega_{1} t\bigr) e h(t)=\cos\!\bigl(\omega_{1} t+\varphi\bigr).
  • Pede-se determinar a expressão de s(t)=g(t)\,h(t).
  • Pede-se escolher três valores para \varphi e esboçar (descrever) o sinal resultante para cada um.
Informações relevantes fornecidas:
  • A frequência angular comum é \omega_{1}.
  • O deslocamento de fase entre as duas cossenos é \varphi.
  • Não há números específicos para \omega_{1}; a resposta deve ser em termos de \omega_{1} e \varphi.

Passo 2

Ferramenta trigonométrica que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  1. Recordando as fórmulas de soma e diferença:
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B
Aqui A e B são ângulos quaisquer. Essas fórmulas vêm diretamente da definição de cosseno para soma e diferença de ângulos.
  1. Para obter uma identidade para o produto \cos A\cos B, soma-se as duas identidades acima:
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B.
Portanto, isolando o produto:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Esta é a identidade “produto-para-soma” que transforma um produto de cossenos em soma de cossenos. É útil porque transforma um produto (que pode gerar termos em frequências diferentes) em termos mais fáceis de interpretar.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso (passo prático).
  • Tome A=\omega_{1} t e B=\omega_{1} t+\varphi.
  • Usando a identidade do passo anterior:
s(t)=\cos(\omega_{1} t)\cos(\omega_{1} t+\varphi)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\bigl(\omega_{1} t-(\omega_{1} t+\varphi)\bigr)+\cos\bigl(\omega_{1} t+(\omega_{1} t+\varphi)\bigr)\bigr].
  • Simplificando os argumentos:
\omega_{1} t-(\omega_{1} t+\varphi)=-\varphi,\qquad \omega_{1} t+(\omega_{1} t+\varphi)=2\omega_{1} t+\varphi.
  • Como \cos(-\varphi)=\cos\varphi, obtemos a forma final:
\boxed{\,s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\varphi+\cos(2\omega_{1} t+\varphi)\bigr].\,}
Explicação física-matemática intuitiva: o produto de duas cossenos de mesma frequência mas com fase relativa \varphi gera uma componente de frequência dobrada 2\omega_{1} (o termo \cos(2\omega_{1} t+\varphi) com amplitude \tfrac{1}{2}) e uma componente constante (offset DC) igual a \tfrac{1}{2}\cos\varphi. Ou seja, s(t) = componente DC + oscilação em 2\omega_{1}.

Passo 4

Escolha de três valores de \varphi e análise/esboço de cada sinal (faça assim na prova: simplifique e descreva amplitude, média e frequência).
Escolhi \varphi=0, \varphi=\tfrac{\pi}{2} e \varphi=\pi.
Caso \varphi=0:
s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos 0+\cos(2\omega_{1} t+0)\bigr]=\tfrac{1}{2}\bigl[1+\cos(2\omega_{1} t)\bigr].
Observações e esboço qualitativo:
  • Isto é exatamente \cos^{2}(\omega_{1} t) (identidade \cos^{2}x=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2x)).
  • Amplitude máxima 1, mínima 0; média (valor DC) \tfrac{1}{2}.
  • Frequência da oscilação visível é 2\omega_{1}.
  • Esboço mental: uma onda que fica sempre não negativa, oscilando entre 0 e 1 com duas cristas por período de \cos(\omega_{1} t).
Caso \varphi=\tfrac{\pi}{2}:
s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos(2\omega_{1} t+\tfrac{\pi}{2})\bigr] =\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(2\omega_{1} t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Ou, usando \cos(x+\tfrac{\pi}{2})=-\sin x,
s(t)=-\tfrac{1}{2}\sin(2\omega_{1} t).
Observações e esboço qualitativo:
  • Não há componente DC (média zero), porque \cos\tfrac{\pi}{2}=0.
  • É uma senoide pura de frequência 2\omega_{1} e amplitude \tfrac{1}{2}.
  • Esboço mental: onda simétrica em torno de zero, variando entre -\tfrac{1}{2} e +\tfrac{1}{2}, com frequência dobrada.
Caso \varphi=\pi:
s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\pi+\cos(2\omega_{1} t+\pi)\bigr] =\tfrac{1}{2}\bigl[-1+\cos(2\omega_{1} t+\pi)\bigr].
Usando \cos(2\omega_{1} t+\pi)=-\cos(2\omega_{1} t),
s(t)=-\tfrac{1}{2}\bigl[1+\cos(2\omega_{1} t)\bigr]=-\,\cos^{2}(\omega_{1} t).
Observações e esboço qualitativo:
  • É o negativo do caso \varphi=0: oscila entre -1 e 0.
  • Média -\tfrac{1}{2}, frequência da oscilação 2\omega_{1}.
  • Esboço mental: forma de “couve invertida” comparada ao caso \varphi=0, sempre não-positiva.

Passo 5

Dica rápida para a prova (receita prática):
  • Memorize ou derive rápido a identidade \cos A\cos B=\tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)].
  • Substitua A=\omega_{1}t, B=\omega_{1}t+\varphi e simplifique; obtenha DC =\tfrac{1}{2}\cos\varphi e AC de frequência 2\omega_{1} com fase \varphi e amplitude \tfrac{1}{2}.
  • Para esboçar, identifique o valor médio, amplitude e se tem sinal sempre positivo/negativo ou alternado.

Resposta

\displaystyle s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\varphi+\cos(2\omega_{1} t+\varphi)\bigr]
\varphi=0:\quad s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[1+\cos(2\omega_{1} t)\bigr]=\cos^{2}(\omega_{1} t)
\varphi=\tfrac{\pi}{2}:\quad s(t)=\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(2\omega_{1} t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\sin(2\omega_{1} t)
\varphi=\pi:\quad s(t)=\tfrac{1}{2}\bigl[-1+\cos(2\omega_{1} t+\pi)\bigr]=-\,\cos^{2}(\omega_{1} t)

Exercícios relacionados