Sendo
e
, determine a expressão de
. Escolha três valores para
e esboce o sinal resultante.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
- São dadas as funções
e . - Pede-se determinar a expressão de
. - Pede-se escolher três valores para
e esboçar (descrever) o sinal resultante para cada um.
Informações relevantes fornecidas:
- A frequência angular comum é
. - O deslocamento de fase entre as duas cossenos é
. - Não há números específicos para
; a resposta deve ser em termos de e .
Passo 2
Ferramenta trigonométrica que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Recordando as fórmulas de soma e diferença:
Aqui
e
são ângulos quaisquer. Essas fórmulas vêm diretamente da definição de cosseno para soma e diferença de ângulos.
- Para obter uma identidade para o produto
, soma-se as duas identidades acima:
Portanto, isolando o produto:
Esta é a identidade “produto-para-soma” que transforma um produto de cossenos em soma de cossenos. É útil porque transforma um produto (que pode gerar termos em frequências diferentes) em termos mais fáceis de interpretar.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso (passo prático).
- Tome
e . - Usando a identidade do passo anterior:
- Simplificando os argumentos:
- Como
, obtemos a forma final:
Explicação física-matemática intuitiva: o produto de duas cossenos de mesma frequência mas com fase relativa
gera uma componente de frequência dobrada
(o termo
com amplitude
) e uma componente constante (offset DC) igual a
. Ou seja, s(t) = componente DC + oscilação em
.
Passo 4
Escolha de três valores de
e análise/esboço de cada sinal (faça assim na prova: simplifique e descreva amplitude, média e frequência).
Escolhi
,
e
.
Caso
:
Observações e esboço qualitativo:
- Isto é exatamente
(identidade ). - Amplitude máxima
, mínima ; média (valor DC) . - Frequência da oscilação visível é
. - Esboço mental: uma onda que fica sempre não negativa, oscilando entre 0 e 1 com duas cristas por período de
.
Caso
:
Ou, usando
,
Observações e esboço qualitativo:
- Não há componente DC (média zero), porque
. - É uma senoide pura de frequência
e amplitude . - Esboço mental: onda simétrica em torno de zero, variando entre
e , com frequência dobrada.
Caso
:
Usando
,
Observações e esboço qualitativo:
- É o negativo do caso
: oscila entre e . - Média
, frequência da oscilação . - Esboço mental: forma de “couve invertida” comparada ao caso
, sempre não-positiva.
Passo 5
Dica rápida para a prova (receita prática):
- Memorize ou derive rápido a identidade
. - Substitua
, e simplifique; obtenha DC e AC de frequência com fase e amplitude . - Para esboçar, identifique o valor médio, amplitude e se tem sinal sempre positivo/negativo ou alternado.