3 Um sistema de aletas será utilizado como dissipador em um chip de computador. O sistema é fabricado em alumínio com condutividade térmica 160 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, tem base quadrada de lado 20 mm , espessura 5 mm e é formado por 12 aletas retangulares de comprimento 16 mm e espessura 1 mm . A montagem instalada em um ambiente com condições que resultam em um coeficiênte de transferência de calor por convecção de 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine ( 3,0 pts.):
(a) A eficiência das aletas individuais inseridas no sistema:
(b) A eficiência do sistema de aletas:
(c) A resistência térmica do sistema de aleta: \mathrm{K} / \mathrm{W}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já convertidos para metros quando necessário) e pede três coisas:
  • Condutividade térmica do alumínio: k=160\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Base quadrada: lado =20\\ \mathrm{mm} = 0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da base: =5\\ \mathrm{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m} (informação de geometria da base).
  • Número de aletas: N=12.
  • Aletas retangulares: comprimento (altura) L=16\\ \mathrm{mm}=0{,}016\\ \mathrm{m}, espessura t=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • Cada aleta percorre toda a largura da base, logo a largura da aleta (no sentido perpendicular à altura) é w=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de convecção: h=100\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
O que o enunciado pede:
(a) Eficiência de uma aleta individual \eta_f.
(b) Eficiência do sistema de aletas \eta_{\text{sys}}.
(c) Resistência térmica do sistema de aletas R_{\text{th}} em \mathrm{K/W}.

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (explicado de forma simples):
  • Para aletas planas finas e de seção constante, usa-se a equação clássica de aleta reta com convecção nas duas faces. A eficiência da aleta compara o calor efetivamente dissipado pela aleta com o calor que ela dissiparia se toda ela estivesse à temperatura da base.
  • A formulação básica exige o parâmetro m dado por m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}, onde P é o perímetro das superfícies expostas ao fluido por seção transversal e A_c é a área de condução da seção transversal.
  • Para uma aleta plana de espessura t e largura w: P=2w (duas faces) e A_c = t w. Assim o fator m simplifica e não depende de w: m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
  • Para a aleta reta com seção constante, adotamos a expressão prática para eficiência (aproximação usual para aletas finas, válida aqui): \eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Esta fórmula corresponde à solução para aleta reta com convecção nas faces e com condição de extremidade aproximada (é a expressão padrão usada em cursos e provas; é a abordagem mais direta e suficiente aqui).

Passo 3

Cálculo do parâmetro m. Primeiro escrever a fórmula e explicar as variáveis:
  • h é o coeficiente de convecção (\mathrm{W/(m^2K)}).
  • k é a condutividade térmica (\mathrm{W/(mK)}).
  • t é a espessura da aleta (\mathrm{m}).
    A fórmula:
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
Substituindo valores:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot 100}{160\cdot 0{,}001}} =\sqrt{\dfrac{200}{0{,}16}} =\sqrt{1250} \approx 35{,}35533906\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Cálculo de mL e de \operatorname{tanh}(mL). Explicando o significado: mL é um número adimensional que indica quão “eficiente” geometricamente a aleta é; se mL pequeno, a aleta é curta e eficiente perto da base; se grande, a ponta contribui pouco.
mL = 35{,}35533906 \times 0{,}016 \approx 0{,}5656854.
Calcular \operatorname{tanh}(mL). Usando a definição exponencial ou tabela numérica:
\operatorname{tanh}(0{,}5656854)\approx 0{,}5123.
Agora a eficiência da aleta:
\eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}=\frac{0{,}5123}{0{,}5656854}\approx 0{,}905.
Interpretação curta: cada aleta trabalha a cerca de 90{,}5\% da eficiência teórica máxima (se toda a aleta estivesse à temperatura da base).

Passo 5

Área de superfície de cada aleta e áreas do sistema (explicando cada termo):
  • Área das faces laterais de uma aleta (duas faces): A_{\text{faces}}=2\,wL.
  • Área da ponta da aleta: A_{\text{tip}}=w\,t (pequena, mas a consideramos).
  • Área total de superfície de uma aleta: A_{\text{fin}}=2wL + w t.
Substituindo w=0{,}02\\ \mathrm{m}, L=0{,}016\\ \mathrm{m}, t=0{,}001\\ \mathrm{m}:
A_{\text{fin}}=2\cdot0{,}02\cdot0{,}016 + 0{,}02\cdot0{,}001 =0{,}00064 + 0{,}00002 =0{,}00066\\ \mathrm{m^2}.
Área superficial total de todas as aletas:
A_{\text{fins,tot}}=N\,A_{\text{fin}}=12\cdot0{,}00066=0{,}00792\\ \mathrm{m^2}.
Área superior da base (sem aletas): A_{\text{base}}=w\cdot w=0{,}02\cdot0{,}02=0{,}0004\\ \mathrm{m^2}.
Área ocupada pelas bases das aletas (pegada no topo da base): cada aleta ocupa w\cdot t =0{,}00002\\ \mathrm{m^2}, então todas ocupam
A_{\text{ocupada}}=N\cdot w t =12\cdot0{,}00002=0{,}00024\\ \mathrm{m^2}.
Portanto a área exposta da base (superfície da base que realmente está em contato com o fluido, sem contar apegadas pelas aletas) é
A_{\text{base,exp}}=A_{\text{base}}-A_{\text{ocupada}}=0{,}0004-0{,}00024=0{,}00016\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Cálculo da eficiência do sistema de aletas \eta_{\text{sys}}. Explicação: a eficiência do sistema compara o calor real total dissipado (penas + base exposta) com o calor que seria dissipado se toda a área total (fins + base exposta) estivesse à temperatura da base:
  • Calor efetivo total é proporcional a N\eta_f A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}}.
  • Área total “geométrica” que troca calor é A_{\text{total}} = N A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}}.
    Assim:
\eta_{\text{sys}}=\frac{N\eta_f A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}}}{N A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}}}.
Substituindo números:
N\eta_f A_{\text{fin}} = 12\cdot0{,}905\cdot0{,}00066 \approx 0{,}00715176,
A_{\text{base,exp}}=0{,}00016,
N A_{\text{fin}} = 12\cdot0{,}00066 = 0{,}00792,
A_{\text{total}}=0{,}00792+0{,}00016=0{,}00808.
Logo
\eta_{\text{sys}}=\frac{0{,}00715176 + 0{,}00016}{0{,}00808}=\frac{0{,}00731176}{0{,}00808}\approx 0{,}905.
Observação: o valor da eficiência do sistema ficou muito próximo à eficiência da aleta porque a maior parte da área de troca é formada pelas próprias aletas.

Passo 7

Cálculo da resistência térmica do sistema de aletas R_{\text{th}} (entre a temperatura da base superior e o fluido ambiente). Explicação:
  • O calor total que sai do conjunto (para diferença de temperatura \theta_b=T_{\text{base}}-T_{\infty}) é
\dot{Q}=h\,\theta_b\bigl(N\eta_f A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}}\bigr).
  • Assim a resistência térmica vista da base para o ar é
R_{\text{th}}=\frac{\theta_b}{\dot{Q}}=\frac{1}{h\bigl(N\eta_f A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}}\bigr)}.
Substituindo:
A_{\text{efetiva}}=N\eta_f A_{\text{fin}} + A_{\text{base,exp}} \approx 0{,}00731176\\ \mathrm{m^2},
h A_{\text{efetiva}} = 100\cdot0{,}00731176 = 0{,}731176\\ \mathrm{W/K},
R_{\text{th}}=\frac{1}{0{,}731176}\approx 1{,}368\\ \mathrm{K/W}.
Arredondando de forma habitual para duas casas significativas: R_{\text{th}}\approx 1{,}37\\ \mathrm{K/W}.

Resposta

(a) \eta_f \approx 0{,}905
(b) \eta_{\text{sys}} \approx 0{,}905
(c) R_{\text{th}} \approx 1{,}37\\ \mathrm{K/W}