3 Um sistema de aletas será utilizado como dissipador em um chip de computador. O sistema é fabricado em alumínio com condutividade térmica
, tem base quadrada de lado 20 mm , espessura 5 mm e é formado por 12 aletas retangulares de comprimento 16 mm e espessura 1 mm . A montagem instalada em um ambiente com condições que resultam em um coeficiênte de transferência de calor por convecção de
. Determine ( 3,0 pts.):
(a) A eficiência das aletas individuais inseridas no sistema:
(b) A eficiência do sistema de aletas:
(c) A resistência térmica do sistema de aleta:
.
(a) A eficiência das aletas individuais inseridas no sistema:
(b) A eficiência do sistema de aletas:
(c) A resistência térmica do sistema de aleta:
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (já convertidos para metros quando necessário) e pede três coisas:
- Condutividade térmica do alumínio:
. - Base quadrada: lado
. - Espessura da base:
(informação de geometria da base). - Número de aletas:
. - Aletas retangulares: comprimento (altura)
, espessura . - Cada aleta percorre toda a largura da base, logo a largura da aleta (no sentido perpendicular à altura) é
. - Coeficiente de convecção:
.
O que o enunciado pede:
(a) Eficiência de uma aleta individual .
(b) Eficiência do sistema de aletas .
(c) Resistência térmica do sistema de aletas em
.
(a) Eficiência de uma aleta individual
(b) Eficiência do sistema de aletas
(c) Resistência térmica do sistema de aletas
Passo 2
Escolha do método e hipóteses (explicado de forma simples):
- Para aletas planas finas e de seção constante, usa-se a equação clássica de aleta reta com convecção nas duas faces. A eficiência da aleta compara o calor efetivamente dissipado pela aleta com o calor que ela dissiparia se toda ela estivesse à temperatura da base.
- A formulação básica exige o parâmetro
dado por , onde é o perímetro das superfícies expostas ao fluido por seção transversal e é a área de condução da seção transversal. - Para uma aleta plana de espessura
e largura : (duas faces) e . Assim o fator simplifica e não depende de : . - Para a aleta reta com seção constante, adotamos a expressão prática para eficiência (aproximação usual para aletas finas, válida aqui):
Esta fórmula corresponde à solução para aleta reta com convecção nas faces e com condição de extremidade aproximada (é a expressão padrão usada em cursos e provas; é a abordagem mais direta e suficiente aqui).
Passo 3
Cálculo do parâmetro
. Primeiro escrever a fórmula e explicar as variáveis:
-
é o coeficiente de convecção . -
é a condutividade térmica . -
é a espessura da aleta .
A fórmula:
Substituindo valores:
Passo 4
Cálculo de
e de
. Explicando o significado:
é um número adimensional que indica quão “eficiente” geometricamente a aleta é; se
pequeno, a aleta é curta e eficiente perto da base; se grande, a ponta contribui pouco.
Calcular
. Usando a definição exponencial ou tabela numérica:
Agora a eficiência da aleta:
Interpretação curta: cada aleta trabalha a cerca de
da eficiência teórica máxima (se toda a aleta estivesse à temperatura da base).
Passo 5
Área de superfície de cada aleta e áreas do sistema (explicando cada termo):
- Área das faces laterais de uma aleta (duas faces):
. - Área da ponta da aleta:
(pequena, mas a consideramos). - Área total de superfície de uma aleta:
Substituindo
,
,
:
Área superficial total de todas as aletas:
Área superior da base (sem aletas):
Área ocupada pelas bases das aletas (pegada no topo da base): cada aleta ocupa , então todas ocupam
Área ocupada pelas bases das aletas (pegada no topo da base): cada aleta ocupa
Portanto a área exposta da base (superfície da base que realmente está em contato com o fluido, sem contar apegadas pelas aletas) é
Passo 6
Cálculo da eficiência do sistema de aletas
. Explicação: a eficiência do sistema compara o calor real total dissipado (penas + base exposta) com o calor que seria dissipado se toda a área total (fins + base exposta) estivesse à temperatura da base:
- Calor efetivo total é proporcional a
. - Área total “geométrica” que troca calor é
.
Assim:
Substituindo números:
Logo
Observação: o valor da eficiência do sistema ficou muito próximo à eficiência da aleta porque a maior parte da área de troca é formada pelas próprias aletas.
Passo 7
Cálculo da resistência térmica do sistema de aletas
(entre a temperatura da base superior e o fluido ambiente). Explicação:
- O calor total que sai do conjunto (para diferença de temperatura
) é
- Assim a resistência térmica vista da base para o ar é
Substituindo:
Arredondando de forma habitual para duas casas significativas:
.
Resposta
(a)
(b)
(c)