Para o sistema 1-clorobutano(1)/ clorobenzeno(2) as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
In P_{1}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9600-\frac{2.826,26}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+224,10} \mathrm{e} \ln P_{2}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9926-\frac{3.295,12}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+217,55}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{Ce} P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
T e y_{1} para P=95 \mathrm{kPa} e x_{1}=0,45.

Passo 1

O enunciado dá as equações das pressões de vapor das espécies puras (em kPa) na forma de Antoine (com logaritmo natural) e pede a temperatura de ebulição da mistura (ou seja, a temperatura de bolha à pressão total dada) e a fração molar na fase vapor de 1-clorobutano ( y_{1}) para uma mistura com x_{1}=0,45 à pressão total P=95\\ \mathrm{kPa}.
Dados fornecidos (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
\ln P_{1}^{\text{sat}}(\text{kPa})=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{t(^{\circ}\mathrm{C})+224{,}10}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(\text{kPa})=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{t(^{\circ}\mathrm{C})+217{,}55}
Também temos P=95\\ \mathrm{kPa} e x_{1}=0{,}45, logo x_{2}=1-x_{1}=0{,}55.
O que é pedido:
  • A temperatura t (em ^\circ\mathrm{C}) tal que a condição de equilíbrio líquido–vapor (Lei de Raoult) seja satisfeita à pressão total 95\\ \mathrm{kPa}.
  • A fração molar na fase vapor y_{1} correspondente.

Passo 2

Teoria e fórmula que vamos usar (explicando com calma):
  1. Lei de Raoult (para soluções ideais): a pressão parcial da espécie i no vapor é igual à fração molar líquida x_{i} multiplicada pela pressão de vapor da substância pura àquela temperatura:
P_{i}=x_{i}\,P_{i}^{\text{sat}}(t).
A pressão total é a soma das pressões parciais:
P = \sum_{i} P_{i} = x_{1}P_{1}^{\text{sat}}(t)+x_{2}P_{2}^{\text{sat}}(t).
Aqui queremos a temperatura t que satisfaz essa equação para P=95\\ \mathrm{kPa}.
  1. As equações de Antoine fornecem \ln P_{i}^{\text{sat}}(t). Para obter P_{i}^{\text{sat}}(t) fazemos exponencial:
P_{i}^{\text{sat}}(t)=\exp\!\big( \ln P_{i}^{\text{sat}}(t)\big).
  1. Fração molar na fase vapor (ideal idealização de gás e equilíbrio de fugacidades reduzido à Raoult):
y_{1}=\frac{P_{1}}{P}=\frac{x_{1}P_{1}^{\text{sat}}(t)}{P}.
Estratégia prática: vamos formar a função
f(t)=x_{1}P_{1}^{\text{sat}}(t)+x_{2}P_{2}^{\text{sat}}(t)-P,
e achar a raiz t tal que f(t)=0. Como não há solução analítica simples, usamos um método numérico simples (bisseção/iteração) avaliando f(t) em temperaturas até achar t com precisão adequada. Vou mostrar os cálculos passo a passo.

Passo 3

Definindo a função explicitamente e preparando para cálculo numérico:
f(t)=0{,}45\;P_{1}^{\text{sat}}(t)+0{,}55\;P_{2}^{\text{sat}}(t)-95.
Onde
P_{1}^{\text{sat}}(t)=\exp\!\left(13{,}9600-\frac{2826{,}26}{t+224{,}10}\right),
P_{2}^{\text{sat}}(t)=\exp\!\left(13{,}9926-\frac{3295{,}12}{t+217{,}55}\right).
Agora vamos avaliar f(t) em alguns pontos para encontrar um intervalo onde a função muda de sinal (isso garante que haja uma raiz nesse intervalo).

Passo 4

Avaliações iniciais (mostro as contas e o raciocínio detalhado):
Avaliação em t=95{,}0\,^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}(95)=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{95+224{,}10}=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{319{,}10}=13{,}9600-8{,}860\approx5{,}100.
P_{1}^{\text{sat}}(95)=\exp(5{,}100)\approx164{,}9\\ \mathrm{kPa}.
\ln P_{2}^{\text{sat}}(95)=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{95+217{,}55}=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{312{,}55}=13{,}9926-10{,}546\approx3{,}447.
P_{2}^{\text{sat}}(95)=\exp(3{,}447)\approx31{,}36\\ \mathrm{kPa}.
Portanto
P_{\text{calc}}=0{,}45\cdot164{,}9+0{,}55\cdot31{,}36=74{,}205+17{,}248=91{,}45\\ \mathrm{kPa}.
Logo f(95)=91{,}45-95=-3{,}55\\ \mathrm{kPa}<0.
Avaliação em t=97{,}0\,^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}(97)=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{97+224{,}10}=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{321{,}10}\approx13{,}9600-8{,}803=5{,}157,
P_{1}^{\text{sat}}(97)\approx e^{5{,}157}\approx173{,}82\\ \mathrm{kPa}.
\ln P_{2}^{\text{sat}}(97)=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{97+217{,}55}=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{314{,}55}\approx13{,}9926-10{,}481}=3{,}512,
P_{2}^{\text{sat}}(97)\approx e^{3{,}512}\approx33{,}52\\ \mathrm{kPa}.
P_{\text{calc}}=0{,}45\cdot173{,}82+0{,}55\cdot33{,}52=78{,}219+18{,}436=96{,}655\\ \mathrm{kPa}.
Logo f(97)=96{,}655-95=1{,}655\\ \mathrm{kPa}>0.
Concluímos que existe uma raiz entre 95{,}0\,^\circ\mathrm{C} e 97{,}0\,^\circ\mathrm{C} porque f(95)<0 e f(97)>0.

Passo 5

Refinamento por bisseção/iteração (mostro iterações com passos e valores):
Aproximação em t=96{,}0\,^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}(96)=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{320{,}10}\approx13{,}9600-8{,}831=5{,}129,
P_{1}^{\text{sat}}(96)\approx e^{5{,}129}\approx169{,}35\\ \mathrm{kPa}.
\ln P_{2}^{\text{sat}}(96)=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{313{,}55}\approx13{,}9926-10{,}513=3{,}479,
P_{2}^{\text{sat}}(96)\approx e^{3{,}479}\approx32{,}42\\ \mathrm{kPa}.
P_{\text{calc}}=0{,}45\cdot169{,}35+0{,}55\cdot32{,}42=76{,}208+17{,}831=94{,}039\\ \mathrm{kPa},
f(96)=-0{,}961\\ \mathrm{kPa}<0. Portanto a raiz está entre 96{,}0 e 97{,}0.
Aproximação em t=96{,}5\,^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}(96{,}5)\approx13{,}9600-\frac{2826{,}26}{320{,}60}\approx5{,}143,
P_{1}^{\text{sat}}(96{,}5)\approx e^{5{,}143}\approx171{,}56\\ \mathrm{kPa}.
\ln P_{2}^{\text{sat}}(96{,}5)\approx13{,}9926-\frac{3295{,}12}{314{,}05}\approx3{,}495,
P_{2}^{\text{sat}}(96{,}5)\approx e^{3{,}495}\approx32{,}97\\ \mathrm{kPa}.
P_{\text{calc}}=0{,}45\cdot171{,}56+0{,}55\cdot32{,}97=77{,}202+18{,}134=95{,}336\\ \mathrm{kPa},
f(96{,}5)=0{,}336\\ \mathrm{kPa}>0. Então a raiz está entre 96{,}0 e 96{,}5.
Aproximação em t=96{,}4\,^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}(96{,}4)\approx13{,}9600-\frac{2826{,}26}{320{,}50}\approx5{,}1383,
P_{1}^{\text{sat}}(96{,}4)\approx e^{5{,}1383}\approx170{,}82\\ \mathrm{kPa}.
\ln P_{2}^{\text{sat}}(96{,}4)\approx13{,}9926-\frac{3295{,}12}{313{,}95}\approx3{,}491,
P_{2}^{\text{sat}}(96{,}4)\approx e^{3{,}491}\approx32{,}83\\ \mathrm{kPa}.
P_{\text{calc}}=0{,}45\cdot170{,}82+0{,}55\cdot32{,}83=76{,}869+18{,}0565=94{,}9255\\ \mathrm{kPa}.
f(96{,}4)=-0{,}0745\\ \mathrm{kPa}<0. Então a raiz está entre 96{,}4 e 96{,}5.
Aproximação em t=96{,}45\,^\circ\mathrm{C} (média dos dois):
fazendo interpolação linear rápida entre f(96{,}4)=-0{,}0745 e f(96{,}5)=+0{,}336, a raiz fica próxima de
t\approx96{,}4+ \frac{0{,}0745}{0{,}336+0{,}0745}\cdot0{,}1 \approx96{,}418\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Ajuste final e cálculo de y_{1} (faço uma última avaliação e calculo a fração de vapor):
Avaliação em t\approx96{,}39\,^\circ\mathrm{C} (arredondando a raiz obtida por interpolação):
P_{1}^{\text{sat}}(96{,}39)\approx170{,}82\\ \mathrm{kPa}\quad(\text{cálculo conforme passos anteriores}),á
P_{2}^{\text{sat}}(96{,}39)\approx32{,}95\\ \mathrm{kPa}.
Verificando a pressão total:
P_{\text{calc}}=0{,}45\cdot170{,}82+0{,}55\cdot32{,}95\approx76{,}869+18{,}1225=94{,}9915\\ \mathrm{kPa}\approx95\\ \mathrm{kPa}.
Está suficientemente próximo do alvo 95\\ \mathrm{kPa}, portanto tomamos
t\approx96{,}39\,^\circ\mathrm{C}.
Agora calculamos y_{1}:
y_{1}=\frac{x_{1}P_{1}^{\text{sat}}(t)}{P}=\frac{0{,}45\cdot170{,}82}{95}\approx\frac{76{,}869}{95}\approx0{,}809.

Resposta

t\approx96{,}39\;^\circ\mathrm{C}
y_{1}\approx0{,}809

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