Para o sistema 1-clorobutano(1)/ clorobenzeno(2) as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
In
Onde
está em
. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
e
para
e
.
Onde
Passo 1
O enunciado dá as equações de Antoine (em kPa) para as pressões de vapor das espécies puras em função da temperatura
(em
):
Foi dada também a condição de equilíbrio ideal descrita pela Lei de Raoult (assumida pelo enunciado). Os dados numéricos do problema são:
O que o problema pede: determinar a temperatura
(em
) e a fração molar na fase líquida
correspondentes a esse equilíbrio total.
Passo 2
Vamos traduzir o que significa usar a Lei de Raoult aqui (aula curta e direta).
- Para cada componente
no vapor, a pressão parcial é . - A Lei de Raoult diz que, em equilíbrio e para uma mistura ideal, a pressão parcial de
é dada por
onde
é a fração molar líquida de
e
é a pressão de vapor da espécie pura à temperatura
.
- Somando as duas componentes obtemos a conservação da pressão total:
Esta é a equação que nos permitirá achar
, porque
e
são conhecidas (vêm de
e
) e
dependem de
pelas equações de Antoine fornecidas.
Passo 3
Calcular as pressões parciais conhecidas a partir de
e
.
Esses valores entram na equação de equilíbrio:
Passo 4
Explicação sobre as equações de Antoine e como calcular
.
- As equações dadas são escritas em forma logarítmica natural:
. Para obter em kPa, aplicamos exponencial:
- Escrevendo explicitamente:
Portanto a equação a resolver para
é
Passo 5
Método numérico escolhido e motivo (explicação didática).
- A equação acima não é resolvível analiticamente; usamos um método numérico simples, robusto e fácil de fazer “na mão” em prova: o método da bissecção (bisection). Ele exige encontrar dois valores de temperatura
e tais que e tenham sinais opostos; então repetimos dividindo o intervalo até convergir. - Vou mostrar as iterações essenciais, calculando
, e em cada tentativa. Cada cálculo de é feito avaliando primeiro o termo e depois exponenciando.
Passo 6
Iterações (bissecção) com cálculos detalhados (vou mostrar valores arredondados com 4 dígitos relevantes para clareza).
- Teste em
:
- Teste em
:
Como
e
, existe raiz entre
e
.
- Teste em
(meio inicial):
Raiz está entre
(positivo) e
(negativo).
- Teste em
:
Ainda positivo, então raiz está entre
e
.
- Teste em
:
Agora negativo; intervalo reduzido para
.
- Teste em
(meio):
Ainda negativo, então raiz está entre
e
.
- Teste em
:
Sinal mudou: raiz entre
e
.
- Teste em
(meio final):
Esse valor já está numericamente zero dentro da precisão das contas manuais; portanto tomamos a raiz como
Observação didática: cada passo consistiu em avaliar
com a fórmula de Antoine, exponenciar para obter
e aplicar a soma das frações
. O método da bissecção é estável e convergiu rápido porque a função é suave.
Passo 7
Cálculo final de
usando a relação direta
.
Com obtivemos
(valores usados acima), então
Com
(Conferência rápida:
e
, soma
, boa consistência.)