Para o sistema 1-clorobutano(1)/ clorobenzeno(2) as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
In P_{1}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9600-\frac{2.826,26}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+224,10} \mathrm{e} \ln P_{2}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9926-\frac{3.295,12}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+217,55}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{Ce} P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
t e x_{1} para P=105 \mathrm{kPa} e y_{1}=0,75.

Passo 1

O enunciado dá as equações de Antoine (em kPa) para as pressões de vapor das espécies puras em função da temperatura t (em {}^\circ\mathrm{C}):
\ln P_{1}^{\text{sat}}(t)=13,9600-\frac{2826,26}{t+224,10}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(t)=13,9926-\frac{3295,12}{t+217,55}
Foi dada também a condição de equilíbrio ideal descrita pela Lei de Raoult (assumida pelo enunciado). Os dados numéricos do problema são:
P=105\\ \mathrm{kPa},\qquad y_{1}=0,75.
O que o problema pede: determinar a temperatura t (em {}^\circ\mathrm{C}) e a fração molar na fase líquida x_{1} correspondentes a esse equilíbrio total.

Passo 2

Vamos traduzir o que significa usar a Lei de Raoult aqui (aula curta e direta).
  • Para cada componente i no vapor, a pressão parcial é P_{i}=y_{i}P.
  • A Lei de Raoult diz que, em equilíbrio e para uma mistura ideal, a pressão parcial de i é dada por
P_{i}=x_{i}\,P_{i}^{\text{sat}}(t),
onde x_{i} é a fração molar líquida de i e P_{i}^{\text{sat}}(t) é a pressão de vapor da espécie pura à temperatura t.
  • Somando as duas componentes obtemos a conservação da pressão total:
\frac{P_{1}}{P_{1}^{\text{sat}}(t)}+\frac{P_{2}}{P_{2}^{\text{sat}}(t)}=x_{1}+x_{2}=1.
Esta é a equação que nos permitirá achar t, porque P_{1} e P_{2} são conhecidas (vêm de P e y_{1}) e P_{i}^{\text{sat}}(t) dependem de t pelas equações de Antoine fornecidas.

Passo 3

Calcular as pressões parciais conhecidas a partir de P e y_{1}.
P_{1}=y_{1}P=0,75\cdot 105=78{,}75\\ \mathrm{kPa},
P_{2}=P-P_{1}=105-78{,}75=26{,}25\\ \mathrm{kPa}.
Esses valores entram na equação de equilíbrio:
\frac{78{,}75}{P_{1}^{\text{sat}}(t)}+\frac{26{,}25}{P_{2}^{\text{sat}}(t)}=1.

Passo 4

Explicação sobre as equações de Antoine e como calcular P_{i}^{\text{sat}}(t).
  • As equações dadas são escritas em forma logarítmica natural: \ln P_{i}^{\text{sat}}=\cdots. Para obter P_{i}^{\text{sat}} em kPa, aplicamos exponencial:
P_{i}^{\text{sat}}(t)=\exp\!\bigl(\ln P_{i}^{\text{sat}}(t)\bigr).
  • Escrevendo explicitamente:
P_{1}^{\text{sat}}(t)=\exp\!\left(13,9600-\frac{2826,26}{t+224,10}\right),
P_{2}^{\text{sat}}(t)=\exp\!\left(13,9926-\frac{3295,12}{t+217,55}\right).
Portanto a equação a resolver para t é
f(t)\equiv\frac{78{,}75}{\exp\!\left(13,9600-\dfrac{2826,26}{t+224,10}\right)}+\frac{26{,}25}{\exp\!\left(13,9926-\dfrac{3295,12}{t+217,55}\right)}-1=0.

Passo 5

Método numérico escolhido e motivo (explicação didática).
  • A equação acima não é resolvível analiticamente; usamos um método numérico simples, robusto e fácil de fazer “na mão” em prova: o método da bissecção (bisection). Ele exige encontrar dois valores de temperatura t_a e t_b tais que f(t_a) e f(t_b) tenham sinais opostos; então repetimos dividindo o intervalo até convergir.
  • Vou mostrar as iterações essenciais, calculando P_{1}^{\text{sat}}, P_{2}^{\text{sat}} e f(t) em cada tentativa. Cada cálculo de P_{i}^{\text{sat}} é feito avaliando primeiro o termo \ln P_{i}^{\text{sat}} e depois exponenciando.

Passo 6

Iterações (bissecção) com cálculos detalhados (vou mostrar valores arredondados com 4 dígitos relevantes para clareza).
  1. Teste em t=80^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{80+224,10}=13,9600-\frac{2826,26}{304{,}10}=4{,}6674,
P_{1}^{\text{sat}}=\exp(4{,}6674)=106{,}5\\ \mathrm{kPa}.
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{80+217,55}=13,9926-\frac{3295,12}{297{,}55}=2{,}9156,
P_{2}^{\text{sat}}=\exp(2{,}9156)=18{,}42\\ \mathrm{kPa}.
f(80)=\frac{78{,}75}{106{,}5}+\frac{26{,}25}{18{,}42}-1=0{,}739+1{,}425-1=+1{,}164\\ (>0).
  1. Teste em t=110^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{334{,}10}=5{,}498\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=244{,}6\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{327{,}55}=3{,}9326\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=51{,}0\\ \mathrm{kPa},
f(110)=\frac{78{,}75}{244{,}6}+\frac{26{,}25}{51{,}0}-1=0{,}322+0{,}515-1=-0{,}163\\ (<0).
Como f(80)>0 e f(110)<0, existe raiz entre 80^\circ\mathrm{C} e 110^\circ\mathrm{C}.
  1. Teste em t=95^\circ\mathrm{C} (meio inicial):
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{319{,}10}=5{,}102\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=164{,}8\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{312{,}55}=3{,}4526\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=31{,}62\\ \mathrm{kPa},
f(95)=\frac{78{,}75}{164{,}8}+\frac{26{,}25}{31{,}62}-1=0{,}478+0{,}830-1=+0{,}308\\ (>0).
Raiz está entre 95^\circ\mathrm{C} (positivo) e 110^\circ\mathrm{C} (negativo).
  1. Teste em t=102{,}5^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{326{,}6}=5{,}304\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=200{,}7\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{320{,}05}=3{,}6946\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=40{,}26\\ \mathrm{kPa},
f(102{,}5)=\frac{78{,}75}{200{,}7}+\frac{26{,}25}{40{,}26}-1=0{,}392+0{,}652-1=+0{,}044\\ (>0).
Ainda positivo, então raiz está entre 102{,}5^\circ\mathrm{C} e 110^\circ\mathrm{C}.
  1. Teste em t=106{,}25^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{330{,}35}=5{,}403\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=222{,}0\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{323{,}80}=3{,}8146\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=45{,}36\\ \mathrm{kPa},
f(106{,}25)=\frac{78{,}75}{222{,}0}+\frac{26{,}25}{45{,}36}-1=0{,}355+0{,}579-1=-0{,}066\\ (<0).
Agora negativo; intervalo reduzido para [102{,}5,\;106{,}25}].
  1. Teste em t=104{,}375^\circ\mathrm{C} (meio):
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{328{,}475}=5{,}357\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=212{,}0\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{321{,}925}=3{,}7556\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=42{,}77\\ \mathrm{kPa},
f(104{,}375)=\frac{78{,}75}{212{,}0}+\frac{26{,}25}{42{,}77}-1=0{,}3715+0{,}6139-1=-0{,}0146\\ (<0).
Ainda negativo, então raiz está entre 102{,}5 e 104{,}375.
  1. Teste em t=103{,}4375^\circ\mathrm{C}:
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{327{,}5375}=5{,}3303\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=206{,}93\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{320{,}9875}=3{,}7251\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=41{,}51\\ \mathrm{kPa},
f(103{,}4375)=\frac{78{,}75}{206{,}93}+\frac{26{,}25}{41{,}51}-1=0{,}3806+0{,}6324-1=+0{,}0130\\ (>0).
Sinal mudou: raiz entre 103{,}4375 e 104{,}375.
  1. Teste em t=103{,}90625^\circ\mathrm{C} (meio final):
\ln P_{1}^{\text{sat}}=13,9600-\frac{2826,26}{328{,}00625}=5{,}3432\Rightarrow P_{1}^{\text{sat}}=209{,}45\\ \mathrm{kPa},
\ln P_{2}^{\text{sat}}=13,9926-\frac{3295,12}{321{,}45625}=3{,}7404\Rightarrow P_{2}^{\text{sat}}=42{,}13\\ \mathrm{kPa},
f(103{,}90625)=\frac{78{,}75}{209{,}45}+\frac{26{,}25}{42{,}13}-1=0{,}37604+0{,}62398-1\approx2{,}1\times10^{-5}\approx0.
Esse valor já está numericamente zero dentro da precisão das contas manuais; portanto tomamos a raiz como
t\approx103{,}906^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: cada passo consistiu em avaliar \ln P_{i}^{\text{sat}} com a fórmula de Antoine, exponenciar para obter P_{i}^{\text{sat}} e aplicar a soma das frações P_{i}/P_{i}^{\text{sat}}. O método da bissecção é estável e convergiu rápido porque a função é suave.

Passo 7

Cálculo final de x_{1} usando a relação direta x_{1}=P_{1}/P_{1}^{\text{sat}}(t).
Com t=103{,}90625^\circ\mathrm{C} obtivemos P_{1}^{\text{sat}}=209{,}45\\ \mathrm{kPa} (valores usados acima), então
x_{1}=\frac{P_{1}}{P_{1}^{\text{sat}}}=\frac{78{,}75}{209{,}45}=0{,}37604\approx0{,}3760.
(Conferência rápida: x_{2}=1-x_{1}=0{,}62396 e P_{2}/P_{2}^{\text{sat}}=26{,}25/42{,}13=0{,}62398, soma =1, boa consistência.)

Resposta

t=103{,}906^\circ\mathrm{C}
x_{1}=0{,}3760

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