Um sistema composto por um cilindro com pistão contém um fluido inicialmente a uma pressão de 200 kPa e temperatura de 150^{\circ} \mathrm{C}. Nesse estado inicial, a massa do fluido é de 12 g . O sistema é então submetido a um processo de aquecimento até que a pressão se torne o dobro da inicial e o volume final atinja 20 litros. Determine a variação entrópica do processo para o fluido em questão sendo
oxigênio

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão inicial: P_1=200\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura inicial: T_1=150^\circ\mathrm{C}=423{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Massa do fluido (oxigênio): m=12\\ \mathrm{g}=0{,}012\\ \mathrm{kg}.
    • Pressão final: P_2=2P_1=400\\ \mathrm{kPa}.
    • Volume final: V_2=20\\ \mathrm{L}=0{,}02\\ \mathrm{m^3}.
  • Pedido:
    • Determinar a variação de entropia do processo para o oxigênio contido no cilindro, \Delta S (unidade \mathrm{J/K} ou \mathrm{kJ/K}).

Passo 2

Decisões e aproximações necessárias (sem resolver ainda, só explicando escolhas):
  • Vou tratar o oxigênio como gás ideal. Isso é razoável para pressões na casa de centenas de kPa e para um cálculo de engenharia básico.
  • Para obter a variação de entropia usarei a relação de gás ideal integrando a expressão diferencial de entropia com calor específico a pressão constante c_p. A fórmula que será usada é
\Delta s = \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT - R \ln\frac{P_2}{P_1}.
Aqui \Delta s é a variação de entropia por unidade de massa (unidade \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), R é a constante específica do gás ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), e c_p(T) é o calor específico a pressão constante (pode depender de T).
  • Para simplificar (e porque não foram fornecidas tabelas de c_p(T)), vou usar o valor constante aproximado para um gás diatômico clássico:
c_p \approx \frac{7}{2}R = 3{,}5\,R.
Vou explicar e justificar isso no passo seguinte e também comentar a influência dessa aproximação.

Passo 3

Cálculo da constante específica do oxigênio R e justificativa:
  • Massa molar do \mathrm{O_2}: M=32{,}00\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Constante universal dos gases: R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}.
  • Constante específica do gás:
R=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618}{32{,}00}=0{,}259826957\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Comentário curto: valores acima em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} combinam com pressões em \mathrm{kPa} e volumes em \mathrm{m^3} porque 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Determinar a temperatura final T_2 usando a equação do gás ideal e o volume específico final:
  • Volume específico final:
v_2=\frac{V_2}{m}=\frac{0{,}02}{0{,}012}=1{,}6666667\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Usando P_2 v_2 = R T_2 (com P_2 em \mathrm{kPa}, v_2 em \mathrm{m^3/kg}, R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
T_2=\frac{P_2 v_2}{R}=\frac{400\cdot 1{,}6666667}{0{,}259826957}=2566{,}09\\ \mathrm{K}.
Observação: o valor de T_2 é alto porque o volume específico é grande e a pressão foi duplicada — é coerente fisicamente embora quente.

Passo 5

Escolha do valor de c_p e justificativa didática:
  • Para um gás diatômico clássico (translação + rotação totalmente ativadas, vibrações desprezadas) os valores molares clássicos dão
c_v=\frac{5}{2}R,\qquad c_p=c_v+R=\frac{7}{2}R=3{,}5\,R.
  • Usando R calculado:
c_p=3{,}5\cdot 0{,}259826957=0{,}90939435\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Comentário pedagógico: c_p varia com a temperatura (especialmente acima de \sim 1000\\ \mathrm{K} as vibrações internas começam a aumentar c_p), então esta é uma aproximação. Para um resultado mais preciso seria necessário integrar \int c_p(T)/T\,dT com uma tabela ou polinômio de c_p(T). Aqui usamos o c_p constante para manter o cálculo prático (método comum em provas quando não há tabelas).

Passo 6

Fórmula final para a variação específica de entropia e cálculo numérico:
  • Com c_p constante a expressão integrada fica
\Delta s = c_p \ln\frac{T_2}{T_1} - R \ln\frac{P_2}{P_1}.
  • Substituindo os valores (todas as quantidades em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e temperaturas em \mathrm{K}):
    • \displaystyle \ln\frac{T_2}{T_1}=\ln\frac{2566{,}09}{423{,}15}=1{,}80304.
    • \displaystyle \ln\frac{P_2}{P_1}=\ln\frac{400}{200}=\ln 2=0{,}693147.
    • Então
\Delta s = 0{,}90939435\cdot 1{,}80304 - 0{,}259826957\cdot 0{,}693147
\Delta s = 1{,}64006 - 0{,}18018 = 1{,}45989\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 7

Cálculo da variação total de entropia do sistema \Delta S (não específica):
\Delta S = m\,\Delta s = 0{,}012\cdot 1{,}45989 = 0{,}0175187\\ \mathrm{kJ/K}.
Convertendo para \mathrm{J/K}:
\Delta S = 0{,}0175187\\ \mathrm{kJ/K}\times 1000 = 17{,}5187\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando razoavelmente: 17{,}52\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Interpretação e comentário final (didático e motivador):
  • O sinal positivo de \Delta S indica aumento de entropia — coerente com aquecimento e aumento de volume.
  • Lembrete: a aproximação de c_p constante e o modelo de gás ideal foram usados por simplicidade. Como T_2 é alto ( \sim 2566\\ \mathrm{K}), vibrações moleculares do \mathrm{O_2} começam a contribuir, aumentando c_p real e portanto o termo c_p\ln(T_2/T_1) seria maior com c_p(T) real, o que tenderia a aumentar um pouco \Delta s. Se a prova exigir maior precisão, use tabelas ou polinômios de c_p(T) e calcule \int_{T_1}^{T_2} c_p(T)/T\,dT.

Resposta

\Delta S = 17{,}52\\ \mathrm{J/K}

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