Um sistema cristalino de materiais especificamente metálicos geralmente possui:
a) Pequeno número de átomos vizinhos e alto fator de empacotamento.
b) Pequeno número de átomos vizinhos e baixo fator de empacotamento.
c) Número grande de átomos vizinhos e baixo fator de empacotamento.
d) Número grande de átomos vizinhos e alto fator de empacotamento.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas descreve, em geral, um sistema cristalino de materiais metálicos. As opções dadas são:
a) Pequeno número de átomos vizinhos e alto fator de empacotamento.
b) Pequeno número de átomos vizinhos e baixo fator de empacotamento.
c) Número grande de átomos vizinhos e baixo fator de empacotamento.
d) Número grande de átomos vizinhos e alto fator de empacotamento.

Passo 2

Vamos entender os dois termos nas alternativas (sem resolver ainda): “número de átomos vizinhos” e “fator de empacotamento”.
  • “Número de átomos vizinhos” é o que chamamos de coordenação ou número de coordenação. Esse número diz quantos átomos tocando (ou mais próximos) um átomo tem na rede cristalina. Exemplos típicos: a estrutura cúbica de face centrada (FCC) tem número de coordenação \;12, a cúbica de corpo centrado (BCC) tem \;8, e a cúbica simples tem \;6.
  • “Fator de empacotamento” (APF, do inglês Atomic Packing Factor) é a fração do volume do elemento unitário ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas). Em termos práticos:
\mathrm{APF}=\frac{\text{volume total das esferas atômicas no elemento unitário}}{\text{volume do elemento unitário}}.ôáá
Valores típicos: estruturas compactas têm APF alto (mais próxima de 1); estruturas soltas têm APF baixo.

Passo 3

Quero mostrar como calcular rapidamente o \mathrm{APF} em alguns casos comuns — isso ajuda a ver o que é “alto” e o que é “baixo” numericamente.
  • Estrutura FCC (ex.: Cu, Al, Ag, Au):
    \text{átomos por cela} = 4,\qquad a = 2\sqrt{2}\,r,á
    onde a é a aresta da cela e r o raio atômico. O volume das esferas na cela é 4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3} e o volume da cela é a^{3}. Portanto
    \mathrm{APF}_{\text{FCC}}=\frac{4\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{(2\sqrt{2}\,r)^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}740.
    O número de coordenação é \;12.
  • Estrutura HCP (hexagonal compacta, ex.: Mg, Ti) tem o mesmo \mathrm{APF} da FCC:
    \mathrm{APF}_{\text{HCP}}\approx 0{,}740,\qquad \text{coordenação }=12.çã
  • Estrutura BCC (ex.: Fe α, Cr, W):
    \text{átomos por cela} = 2,\qquad a=\frac{4r}{\sqrt{3}},á
    e
    \mathrm{APF}_{\text{BCC}}=\frac{2\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{(4r/\sqrt{3})^{3}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}680.
    O número de coordenação é \;8.
  • Estrutura cúbica simples:
    \mathrm{APF}_{\text{SC}}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}524,\qquad \text{coordenação }=6.çã
Assim, numericamente, podemos classificar “alto fator de empacotamento” como algo perto de \;0{,}74 (FCC/HCP) e “baixo” como \;0{,}52 (SC) ou inferior; BCC fica entre esses valores com \;0{,}68, que ainda é relativamente alto comparado à estrutura simples.

Passo 4

Agora, por que metais geralmente têm grande número de vizinhos e alto APF?
  • Ligação metálica é não-direcional: elétrons estão deslocalizados e não “apontam” para ligações específicas. Isso favorece que cada átomo tenha muitos vizinhos para maximizar a estabilização energética, ou seja, estruturas com número de coordenação grande (como \;8 ou \;12) são preferidas.
  • Para minimizar energia por aproximação eficiente de átomos (e também por empacotamento de esferas), muitos metais adotam estruturas compactas (FCC ou HCP) com \mathrm{APF}\approx 0{,}74 e coordenação \;12. Outros metais têm BCC ( \mathrm{APF}\approx 0{,}68, coordenação \;8), que ainda representa empacotamento relativamente eficiente.
  • Exemplos concretos: cobre ( \text{Cu}) é FCC (coordenação \;12, \mathrm{APF}\approx 0{,}74); magnésio ( \text{Mg}) é HCP (coordenação \;12); ferro \alpha ( \text{Fe}) é BCC (coordenação \;8) — note que mesmo o BCC tem coordenação e APF relativamente altos comparados a uma rede de coordenação pequena.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • (a) diz “pequeno número de átomos vizinhos e alto fator” — contradiz a tendência metálica de alta coordenação.
  • (b) “pequeno número de átomos vizinhos e baixo fator” — também não corresponde.
  • (c) “número grande de átomos vizinhos e baixo fator” — mistura uma propriedade típica com uma que não é típica (metais com muitos vizinhos costumam ter empacotamento eficiente, não baixo).
  • (d) “número grande de átomos vizinhos e alto fator de empacotamento” — está de acordo com a tendência geral dos metais (estruturas FCC/HCP e frequentemente BCC), ou seja, alta coordenação e empacotamento eficiente.
Portanto a alternativa correta é a (d). Força motivadora: ligação metálica não-direcional + preferência energética por empacotamento eficiente resultam em coordenações grandes e APF alto.

Resposta

d)

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