Um sistema elétrico é descrito pela equação diferencial abaixo. Calcule a resposta \mathrm{i}(\mathrm{t}) do sistema a um sinal de entrada v(t), usando para isso o método de resolução de equações diferenciais demonstrado em sala de aula, isto é, através soma da resposta homogênea i_{h}(t) e a resposta forçada \mathrm{i}_{\mathrm{f}}(\mathrm{t}).
i^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} i^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} i(t)=\frac{1}{L} v^{\prime}(t)
\mathrm{L}=0.5 \mathrm{H}
\mathrm{C}=14 \mathrm{mF}
\mathrm{i}(0)=0
\mathrm{i}^{\prime}(0)=10
\mathrm{R}=100 \mathrm{~W}
C =14 \mathrm{mF}
v(t)=20 \cos (10 t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem para a corrente i(t)
i''(t)+\frac{R}{L}\,i'(t)+\frac{1}{LC}\,i(t)=\frac{1}{L}\,v'(t)
com L=0,5,H, C=14,mF, R=100, \Omega, condições iniciais i(0)=0, i'(0)=10 e entrada v(t)=20\cos(10t).
Vamos usar o método da soma da resposta homogênea i_{h}(t) e da resposta particular i_{f}(t).

Passo 2

Resposta homogênea: retirando o termo de entrada, sobra
i''(t)+\frac{R}{L}\,i'(t)+\frac{1}{LC}\,i(t)=0.
A equação característica é
r^{2}+\frac{R}{L}\,r+\frac{1}{LC}=0.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos \tfrac{R}{L}=200, \tfrac{1}{LC}=\tfrac{1}{0,5\cdot0,014}\approx142{,}857, temos
r^{2}+200\,r+142{,}857=0.
O discriminante é
\Delta=200^{2}-4\cdot142{,}857\approx39428{,}57
e as raízes são
r_{1,2}=\frac{-200\pm\sqrt{39428{,}57}}{2}\approx-0{,}715\quad\text{e}\quad-199{,}285.
Logo
i_{h}(t)=A\,e^{-0{,}715\,t}+B\,e^{-199{,}285\,t}.

Passo 4

Resposta particular: como a forçante é proporcional a v'(t)=-200\sin(10t), escrevemos o RHS como \tfrac{1}{L}v'(t)=-400\sin(10t). Assumimos
i_{f}(t)=K\cos(10t)+M\sin(10t)
e calculamos
i_{f}'=-10K\sin(10t)+10M\cos(10t), \quad i_{f}''=-100K\cos(10t)-100M\sin(10t).
Substituindo na ODE e igualando coeficientes de \cos(10t) e \sin(10t) obtemos o sistema
\begin{cases} ( -100+142{,}857 )K+2000\,M=0,\\\ ( -100+142{,}857 )M-2000\,K=-400. \end{cases}
Resolvendo chega-se a
K\approx0{,}19991,\quad M\approx-0{,}004285.
Portanto
i_{f}(t)=0{,}19991\cos(10t)-0{,}004285\sin(10t).

Passo 5

Condições iniciais:
i(0)=A+B+K=0\quad\Longrightarrow\quad A+B=-0{,}19991,
i'(0)=A\,r_{1}+B\,r_{2}+10M=10\quad\Longrightarrow\quad A(-0{,}715)+B(-199{,}285)-0{,}04285=10.
Desse sistema obtém-se
A\approx-0{,}15007,\quad B\approx-0{,}04984.

Passo 6

A solução completa é
i(t)=A\,e^{-0{,}715\,t}+B\,e^{-199{,}285\,t}+0{,}19991\cos(10t)-0{,}004285\sin(10t).

Resposta

i(t)=-0{,}15007\,e^{-0{,}715\,t}-0{,}04984\,e^{-199{,}285\,t}+0{,}19991\cos(10t)-0{,}004285\sin(10t).

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