Um sistema elétrico é descrito pela equação diferencial abaixo. Calcule a resposta \mathrm{i}(\mathrm{t}) do sistema a um sinal de entrada v(t), usando para isso o método de resolução de equações diferenciais demonstrado em sala de aula, isto é, através soma da resposta homogênea i_{h}(t) e a resposta forçada \mathrm{i}_{\mathrm{f}}(\mathrm{t}).
i^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} i^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} i(t)=\frac{1}{L} v^{\prime}(t)
\mathrm{L}=0.5 \mathrm{H}
\mathrm{C}=14 \mathrm{mF}
\mathrm{i}(0)=0
\mathrm{i}^{\prime}(0)=10
\mathrm{R}=0 \mathrm{~W}
v(t)=15 e^{-12 t}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
i''(t)+\frac{R}{L}\,i'(t)+\frac{1}{LC}\,i(t)=\frac{1}{L}\,v'(t)
com L=0{,}5,H, C=14\times10^{-3},F, R=0,Ω, v(t)=15e^{-12t}, e condições iniciais i(0)=0, i'(0)=10.
O método é escrever a solução geral como soma da resposta homogênea i_h(t) e da resposta forçada i_f(t).

Passo 2

Com R=0, a equação homogênea é
i_h''(t)+\frac{1}{LC}\,i_h(t)=0.
Definindo
\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}},
temos a solução
i_h(t)=C_1\cos(\omega_0 t)+C_2\sin(\omega_0 t).
Numericamente,
\omega_0=\sqrt{\frac{1}{0{,}5\cdot14\times10^{-3}}}\approx11{,}952\text{ rad/s}.

Passo 3

Procuramos um particular da forma i_f(t)=A\,e^{-12t}. Então
i_f'(t)=-12A\,e^{-12t}, \qquad i_f''(t)=144A\,e^{-12t}.
Substituindo em
i''+(\tfrac1{LC})\,i=-360\,e^{-12t},
pois \tfrac1L\,v'(t)=\tfrac1{0{,}5}\,(15\cdot(-12)e^{-12t})=-360e^{-12t}, obtemos
(144+\omega_0^2)\,A\,e^{-12t}=-360\,e^{-12t}.
Como \omega_0^2=1/(LC)\approx142{,}857, segue
A=-\frac{360}{144+142{,}857}\approx-1{,}255.
Logo
i_f(t)=-1{,}255\,e^{-12t}.

Passo 4

A solução geral é
i(t)=C_1\cos(\omega_0 t)+C_2\sin(\omega_0 t)-1{,}255\,e^{-12t}.
Em t=0:
i(0)=C_1-1{,}255=0\quad\Rightarrow\quad C_1=1{,}255.
Derivando
i'(t)=-C_1\,\omega_0\sin(\omega_0 t)+C_2\,\omega_0\cos(\omega_0 t)+15{,}06\,e^{-12t},
pois \bigl(-1{,}255e^{-12t}\bigr)'=15{,}06e^{-12t}. Em t=0:
i'(0)=C_2\,\omega_0+15{,}06=10 \quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{10-15{,}06}{\omega_0}\approx-0{,}4235.

Resposta

Portanto, a corrente é
i(t)=1{,}255\cos\bigl(11{,}952\,t\bigr)-0{,}4235\sin\bigl(11{,}952\,t\bigr)-1{,}255\,e^{-12t}.

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