Um sistema elétrico é descrito pela equação diferencial abaixo. Calcule a resposta \mathrm{i}(\mathrm{t}) do sistema a um sinal de entrada v(t), usando para isso o método de resolução de equações diferenciais demonstrado em sala de aula, isto é, através soma da resposta homogênea i_{h}(t) e a resposta forçada \mathrm{i}_{\mathrm{f}}(\mathrm{t}).
i^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} i^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} i(t)=\frac{1}{L} v^{\prime}(t)
\mathrm{L}=0.5 \mathrm{H}
\mathrm{C}=14 \mathrm{mF}
\mathrm{i}(0)=0
\mathrm{i}^{\prime}(0)=10
\mathrm{R}=100 \mathrm{~W}
C =14 \mathrm{mF}
v(t)=15 e^{-12 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
i''(t) + \frac{R}{L}\,i'(t) + \frac{1}{LC}\,i(t) \;=\;\frac{1}{L}\,v'(t)
com \displaystyle L=0{,}5\:\mathrm H, \displaystyle C=14\:\mathrm{mF}=0{,}014\:\mathrm F, \displaystyle R=100\:\Omega, condições iniciais \displaystyle i(0)=0, \displaystyle i'(0)=10,
e entrada \displaystyle v(t)=15\,e^{-12t}.
Vamos achar a solução geral como
i(t)=i_h(t)+i_f(t),
onde i_h é a resposta do homogêneo e i_f é uma solução particular forçada.

Passo 2

Resposta homogênea i_h(t): consideramos
i'' + \frac{R}{L}\,i' + \frac{1}{LC}\,i = 0
e formamos a equação característica
s^2 + \frac{R}{L}\,s + \frac{1}{LC} = 0 \;\Longrightarrow\; s^2 + 200\,s + 142{,}857\approx 0.
O discriminante é positivo, com raízes reais
s_{1,2} = \frac{-200\pm\sqrt{200^2-4\cdot142{,}857}}{2} \approx -0{,}714\,,\,-199{,}286.
Logo
i_h(t) = A\,e^{-0{,}714\,t} + B\,e^{-199{,}286\,t}.

Passo 3

Resposta particular i_f(t): primeiro calculamos
v'(t) = 15\cdot(-12)\,e^{-12t} = -180\,e^{-12t},
logo o lado direito da ODE vale
\frac1L\,v'(t) = \frac{1}{0{,}5}(-180)\,e^{-12t} = -360\,e^{-12t}.
Procuramos i_f(t)=K\,e^{-12t}. Então
i_f'=-12K\,e^{-12t},\quad i_f''=144K\,e^{-12t},
e na ODE
\bigl[144K +200(-12K)+142{,}857K\bigr]e^{-12t} = -360\,e^{-12t}.
Isso dá
(144-2400+142{,}857)\,K = -360 \;\Longrightarrow\; -2113{,}143\,K = -360 \;\Longrightarrow\; K \approx 0{,}1704.
Logo
i_f(t) = 0{,}1704\,e^{-12t}.

Passo 4

Aplicando condições iniciais na solução geral
i(t) = A\,e^{-0{,}714t} + B\,e^{-199{,}286t} + 0{,}1704\,e^{-12t},
temos em t=0:
i(0)=A + B + 0{,}1704 = 0 \;\Longrightarrow\; A+B = -0{,}1704.
Derivando e avaliando em t=0:
i'(t) = -0{,}714A\,e^{-0{,}714t} -199{,}286B\,e^{-199{,}286t} -12\cdot0{,}1704\,e^{-12t},
i'(0) = -0{,}714A -199{,}286B -2{,}045 \;=\;10 \;\Longrightarrow\; -0{,}714A -199{,}286B = 12{,}045.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A + B = -0{,}1704,\\\\ -0{,}714A -199{,}286B = 12{,}045, \end{cases}
obtém-se
A \approx -0{,}1104, \quad B \approx -0{,}0600.

Resposta

\boxed{ i(t) = -0{,}1104\,e^{-0{,}714\,t} \;-\;0{,}0600\,e^{-199{,}286\,t} \;+\;0{,}1704\,e^{-12\,t} }.

Exercícios relacionados