Para o sistema etil etanoato(1)/n-heptano(2) a 343,15 K,
  • ln gamma1=0,95 x2^2
    ln gamma2=0,95 x1^2.
  • P1^ sat =79,80 kPa
    P2 ^ sat =40,50 kPa.
    Considerando que a Eq. (10.5) é válida,
    Faça um cálculo ORVP para T=343,15 K, y1=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem um sistema com etil etanoato (componente 1) e n-heptano (componente 2) a uma temperatura de 343,15 K. Temos algumas informações sobre os coeficientes de atividade ( gamma) e as pressões de vapor saturadas ( Psat) de cada componente. A ideia é calcular o ORVP (que geralmente se refere ao ponto de orvalho ou ponto de rajada) para essa temperatura e uma fração de vapor y1 = 0,05. Para isso, vamos precisar usar a equação fornecida (Eq. 10.5) e aplicar os conceitos de equilíbrio de fases e atividade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de equilíbrio de fases que provavelmente é a Eq. (10.5). Geralmente, ela relaciona a pressão total, as frações molares na fase líquida e vapor, os coeficientes de atividade e as pressões de vapor saturadas:
yi P = gammai xi Pi^sat
Onde:
  • yi é a fração molar do componente i na fase vapor.
  • P é a pressão total do sistema.
  • gammai é o coeficiente de atividade do componente i.
  • xi é a fração molar do componente i na fase líquida.
  • Pi^sat é a pressão de vapor saturada do componente i.

Passo 3

Sabemos que as frações molares na fase líquida e vapor devem somar 1:
x1 + x2 = 1
y1 + y2 = 1
Dado que y1 = 0,05, então y2 = 0,95.

Passo 4

Agora, vamos expressar x2 em função de x1:
x2 = 1 - x1
E como y2 = 1 - y1 = 0,95, temos as frações conhecidas.

Passo 5

Vamos usar as expressões dos coeficientes de atividade fornecidas:
ln gamma1 = 0,95 x2^2
ln gamma2 = 0,95 x1^2
Podemos encontrar gamma1 e gamma2 exponenciando ambos os lados:
gamma1 = e^0,95 x2^2
gamma2 = e^0,95 x1^2

Passo 6

Aplicando a equação de equilíbrio para cada componente:
Para o componente 1:
y1 P = gamma1 x1 P1^sat
Para o componente 2:
y2 P = gamma2 x2 P2^sat

Passo 7

Podemos dividir as duas equações para eliminar P:
y1y2 = gamma1 x1 P1^satgamma2 x2 P2^sat
Substituindo y1 = 0,05 e y2 = 0,95:
0,050,95 = gamma1 x1 P1^satgamma2 x2 P2^sat

Passo 8

Substituindo gamma1 e gamma2 pelas expressões obtidas:
0,050,95 = e^0,95 x2^2 cdot x1 cdot 79,80e^0,95 x1^2 cdot x2 cdot 40,50
Lembrando que x2 = 1 - x1.

Passo 9

Essa equação é transcendental e geralmente não tem solução analítica fácil. Então, vamos resolver numericamente. Para isso, podemos usar métodos iterativos, como o método de Newton-Raphson, ou ferramentas como planilhas eletrônicas ou softwares de cálculo.
No entanto, para simplificar, vamos assumir um valor inicial para x1 e ajustar até que ambos os lados da equação se igualem.

Passo 10

Vamos tentar x1 = 0,05:
x2 = 1 - 0,05 = 0,95
Calculando as exponenciais:
gamma1 = e^0,95 cdot (0,95)^2 = e^0,95 cdot 0,9025 approx e^0,857375 approx 2,357
gamma2 = e^0,95 cdot (0,05)^2 = e^0,95 cdot 0,0025 approx e^0,002375 approx 1,002
Substituindo na equação:
0,050,95 approx 2,357 cdot 0,05 cdot 79,801,002 cdot 0,95 cdot 40,50 approx 9,4138,49 approx 0,244
Mas 0,050,95 approx 0,0526, então precisamos ajustar x1.

Passo 11

Vamos tentar x1 = 0,02:
x2 = 1 - 0,02 = 0,98
Calculando as exponenciais:
gamma1 = e^0,95 cdot (0,98)^2 = e^0,95 cdot 0,9604 approx e^0,91238 approx 2,488
gamma2 = e^0,95 cdot (0,02)^2 = e^0,95 cdot 0,0004 approx e^0,00038 approx 1,00038
Substituindo na equação:
0,050,95 approx 2,488 cdot 0,02 cdot 79,801,00038 cdot 0,98 cdot 40,50 approx 3,97539,62 approx 0,1003
Ainda maior que 0,0526, mas mais próximo. Continuamos ajustando.

Passo 12

Após várias iterações, podemos encontrar que x1 approx 0,01 atende melhor:
x1 = 0,01 Rightarrow x2 = 0,99
Calculando as exponenciais:
gamma1 = e^0,95 cdot (0,99)^2 approx e^0,95 cdot 0,9801 approx e^0,931 approx 2,538
gamma2 = e^0,95 cdot (0,01)^2 approx e^0,95 cdot 0,0001 approx e^0,000095 approx 1,000095
Substituindo na equação:
0,050,95 approx 2,538 cdot 0,01 cdot 79,801,000095 cdot 0,99 cdot 40,50 approx 2,02740,149 approx 0,0505
Está bem próximo de 0,0526. Então, consideramos x1 approx 0,01.

Passo 13

Agora, com x1 approx 0,01, podemos calcular a pressão total P usando uma das equações de equilíbrio. Vamos usar a do componente 1:
y1 P = gamma1 x1 P1^sat
0,05 P = 2,538 cdot 0,01 cdot 79,80
0,05 P = 2,038
P = 2,0380,05 approx 40,76 kPa

Resposta

O ORVP para T = 343,15 K e y1 = 0,05 é aproximadamente 40,76 kPa.

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