Um sistema fechado sofre um processo durante o qual ocorre transferência de calor para o sistema com uma taxa constante e igual a 3 kW . A potência desenvolvida
pelo sistema varia com o tempo de acordo com:
onde
está em horas e
está em kW .
(a) Qual é a taxa de variação da energia do sistema, em kW , quando
?
(b) Determine a variação da energia do sistema, em kJ, desde o início do processo até
horas.
pelo sistema varia com o tempo de acordo com:
(a) Qual é a taxa de variação da energia do sistema, em kW , quando
(b) Determine a variação da energia do sistema, em kJ, desde o início do processo até
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema fechado que está recebendo calor a uma taxa constante de 3 kW. Além disso, a potência desenvolvida pelo sistema varia com o tempo conforme a função que você forneceu. Vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação de energia interna do sistema com o calor fornecido e o trabalho realizado. Para resolver as duas partes do exercício, vamos precisar entender essa relação e aplicar um pouquinho de cálculo.
Passo 2
A primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados pode ser expressa pela equação:
Aqui:
-
é a taxa de transferência de calor para o sistema (em kW). -
é a potência desenvolvida pelo sistema (em kW). -
é a taxa de variação da energia interna do sistema (em kW).
Passo 3
Para a parte (a) do exercício, queremos encontrar a taxa de variação da energia do sistema quando
horas. Primeiro, vamos identificar qual expressão de
se aplica nesse intervalo de tempo.
Como
hora, usamos:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, aplicamos a primeira lei da termodinâmica:
Sabemos que
kW e
kW:
Passo 5
Para a parte (b), queremos a variação total da energia do sistema desde o início até
horas. Isso significa que precisamos integrar
ao longo desse intervalo de tempo.
Primeiro, dividimos o intervalo em duas partes devido à mudança na expressão de
:
- De
a hora: - De
a horas:
Passo 6
Calculamos a variação de energia em cada intervalo usando:
Primeiro intervalo (0 a 1 hora):
Integrando:
Passo 7
Segundo intervalo (1 a 2 horas):
Integrando:
Passo 8
Somamos as variações dos dois intervalos para obter a variação total da energia:
Passo 9
Agora, queremos a variação em kilojoules (kJ). Sabemos que:
Então:
Resposta
(a) A taxa de variação da energia do sistema quando
horas é 1,56 kW.
(b) A variação da energia do sistema desde o início do processo até
horas é 8.640 kJ.