Em um sistema hipotético com três setores, como é construída a matriz de coeficientes técnicos?

Passo 1

O que o enunciado pede: construir a matriz de coeficientes técnicos para um sistema hipotético com três setores.
Informações relevantes que precisamos (mas que não foram fornecidas explicitamente pelo enunciado): os fluxos de consumo intermediário entre os setores, que chamaremos de \,z_{ij}\, (quantidade que o setor i fornece ao setor j), e os produtos totais de cada setor, que chamaremos de \,x_j (produção total do setor j).
Observação: como o enunciado é conceitual, eu vou explicar passo a passo como construir a matriz em termos gerais e depois mostrar um exemplo numérico hipotético para consolidar.

Passo 2

Definição do coeficiente técnico e fórmula básica.
Cada coeficiente técnico \,a_{ij}\, é a quantidade do insumo do setor i necessária por unidade de produto do setor j. Matematicamente:
a_{ij}=\frac{z_{ij}}{x_j}.
Explicação das variáveis: \,z_{ij}\, = consumo do setor i pelo setor j; \,x_j\, = produção total do setor j. O índice i identifica o setor fornecedor (linha) e j o setor consumidor (coluna).

Passo 3

Como organizar a matriz (orientação linha/coluna).
A matriz de coeficientes técnicos A tem dimensões 3\times3. As linhas correspondem aos setores fornecedores i=1,2,3 e as colunas aos setores consumidores j=1,2,3. Escrevemos:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
onde cada entrada a_{ij} é obtida pela fórmula do Passo 2.

Passo 4

Procedimento prático para calcular cada coluna (passo a passo que você deve fazer na prova).
  1. Reúna os valores \,z_{1j},z_{2j},z_{3j}\, (os três insumos recebidos pelo setor j).
  2. Reúna o valor \,x_j (produção total do setor j).
  3. Calcule \,a_{1j}=z_{1j}/x_j, \,a_{2j}=z_{2j}/x_j e \,a_{3j}=z_{3j}/x_j.
    Repita isso para j=1,2,3. Importante: a divisão é feita coluna a coluna (normalização por x_j), não linha a linha.

Passo 5

Interpretação e checagens rápidas que ajudam a detectar erro na prova.
  • A soma da coluna j é
\sum_{i=1}^{3} a_{ij}=\frac{\sum_{i=1}^{3} z_{ij}}{x_j},
ou seja, a fração da produção do setor j que é usada como insumo intermediário (o restante é valor adicionado + demanda final). Normalmente essa soma é menor que 1.
  • Se alguma x_j=0 ou muito pequena, há problema de dados; na prova verifique se os x_j são válidos antes de dividir.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (hipotético) — eu escolhi números para ilustrar cada cálculo. Dados (peguei estes valores como exemplo):
\begin{array}{l} z_{11}=10,\; z_{21}=2,\; z_{31}=3,\; x_1=20,\\[4pt] z_{12}=4,\; z_{22}=8,\; z_{32}=2,\; x_2=18,\\[4pt] z_{13}=6,\; z_{23}=5,\; z_{33}=9,\; x_3=25. \end{array}
Cálculos coluna a coluna:
Coluna j=1 ( x_1=20):
a_{11}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0,5,\quad a_{21}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0,1,\quad a_{31}=\frac{3}{20}=0,15.
Coluna j=2 ( x_2=18):
a_{12}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}\approx 0,222\ldots,\quad a_{22}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\approx 0,444\ldots,\quad a_{32}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\approx 0,111\ldots.
Coluna j=3 ( x_3=25):
a_{13}=\frac{6}{25}=0,24,\quad a_{23}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0,2,\quad a_{33}=\frac{9}{25}=0,36.
Checagem das somas das colunas (como controle):
\sum_{i}a_{i1}=0,5+0,1+0,15=0,75,\quad \sum_{i}a_{i2}=\frac{14}{18}\approx 0,777\ldots,\quad \sum_{i}a_{i3}=\frac{20}{25}=0,8.
Todas menores que 1, consistente com existência de valor adicionado e demanda final.]

Passo 7

Matriz final (exemplo) — escrevendo primeiro em frações exatas e depois em decimais arredondados:
Fração exata:
A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{9} & \frac{6}{25} \\\ \frac{1}{10} & \frac{4}{9} & \frac{1}{5} \\\ \frac{3}{20} & \frac{1}{9} & \frac{9}{25} \end{pmatrix}.
Decimal (arredondado a 3 casas decimais quando periódico):
A\approx\begin{pmatrix} 0,500 & 0,222 & 0,240 \\\\ 0,100 & 0,444 & 0,200 \\\\ 0,150 & 0,111 & 0,360 \end{pmatrix}.

Resposta

\text{Construção geral: }a_{ij}=\frac{z_{ij}}{x_j}\quad\text{e}\quad A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.çã
Exemplo numérico:
A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{9} & \frac{6}{25} \\ \frac{1}{10} & \frac{4}{9} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{20} & \frac{1}{9} & \frac{9}{25} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0,500 & 0,222 & 0,240 \\ 0,100 & 0,444 & 0,200 \\ 0,150 & 0,111 & 0,360 \end{pmatrix}.

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