0 sistema indicado a seguir opera com tensão de 1,0 pu quando ocorre um curto-circuito Fase-fase-terra (fases B e C) em F, ponto médio da linha inferior. Calcular os valores eficazes das correntes de falta para a terra ( I_{F} ), corrente no neutro do Autotrafo ( \mathrm{I}_{\mathrm{NAT}} ) e corrente no enrolamento delta do Autotrafo ( \mathrm{I} \Delta_{\mathrm{AT}} ).

Passo 1

Vamos primeiro entender o tipo de falta e como montar os três redes de sequência. A falta é do tipo “duas fases e à terra” (fase B e fase C curto-circuitadas ao terra) no ponto F, no meio da linha. Para esse tipo de falta:
  • Na fase B e na fase C vale
V_B=0,\quad V_C=0.
  • Na fase A o sistema “mantém” a tensão pré-falta V_A\approx1\angle0\circ pu.
  • A rede positiva inclui todos os elementos (linha, transformadores, gerador e barra infinita) e tem impedância equivalente vista do ponto F igual a
Z_1 = \bigl[\,\tfrac{Z_{\ell}}{2} + Z_{T1} + Z_{g1}\bigr] \;\big\|\;\bigl[\tfrac{Z_{\ell}}{2} + Z_{AT1}\bigr],
onde “ \|” é o paralelo, Z_{\ell}/2 é a metade da impedância de linha, Z_{T1}, Z_{g1} e Z_{AT1} são as impedâncias de sequência 1 do transformador T, do gerador e do autotransformador AT, respectivamente.
  • A rede negativa é idêntica à positiva (porque gerador e barras são simétricas de sequência negativa). Logo
Z_2 = Z_1.
  • A rede zero-seq não “enxerga” o lado da barra infinita porque o enrolamento Δ do autotransformador bloqueia a sequência zero: só há caminho terra → neutro do T → metade da linha → falta. Logo
Z_0 = \frac{Z_{\ell}}{2} + Z_{T0} + Z_{g0}.

Passo 2

Escrevemos agora as relações de tensões nas seqüências no ponto de falta (fase B ou C):
V_{1F}=E-\,Z_{1}\,I_{1}, \quad V_{2F}=-\,Z_{2}\,I_{2}, \quad V_{0F}=-\,Z_{0}\,I_{0},
onde E=1 pu é a tensão pré-falta no ponto F (sequência positiva), e não há fontes nas redes negativa e zero.

Passo 3

Da condição de curto em B ou C V_B=0\) e \(V_C=0\) obtemos, via transformação inversa de componentes simétricas, as duas equações \[\begin{cases} a^2\,V_{1F}+a\,V_{2F}+V_{0F}=0,\\\ a\,V_{1F}+a^2\,V_{2F}+V_{0F}=0, \end{cases}
onde a=e^{j120\circ}\]. Subtraindo uma da outra, conclui-se facilmente que \[I_{1}=I_{2}\] e que o loop série \(Z_1+Z_2 sustenta a fonte E. Portanto
I_{1}=I_{2} =\frac{E}{Z_{1}+Z_{2}} =\frac{1}{\,2\,Z_{1}\,} \quad\Bigl(\hbox{pois }Z_{2}=Z_{1}\Bigr).

Passo 4

Para encontrar I_{0}, basta usar uma das equações de curto e substituir V_{1F}, V_{2F}. Por exemplo, de
a^2\bigl(E-Z_1I_1\bigr)+a\bigl(-Z_2I_2\bigr)+\bigl(-Z_0I_0\bigr)=0
com I_1=I_2 e Z_2=Z_1 vem
I_{0} =\frac{a^2\bigl(E-Z_1I_1\bigr)+a\bigl(-Z_1I_1\bigr)}{\,Z_0\,} =\frac{E\,(a^2 - a)}{2\,Z_0} \;=\;j\,\frac{\sqrt3}{2}\,\frac{E}{Z_0}.

Passo 5

A corrente de falta que vai efetivamente para a terra em F é a soma das correntes de fase em B e em C (cada uma “despejando” no ponto de falta):
I_F = I_B + I_C.
Mas dos componentes simétricos temos
I_B=I_1+a^2I_2+I_0,\quad I_C=I_1+a\,I_2+I_0,
e como I_1=I_2 e 1+a+a^2=0 segue que
I_F = 2\,(I_1 + I_0).
Substituindo
I_F = 2\!\Bigl(\frac{1}{2Z_1} + j\,\frac{\sqrt3}{2Z_0}\Bigr) = \frac{1}{Z_1} + j\,\frac{\sqrt3}{Z_0}.
Em módulo:
\bigl|I_F\bigr| =\sqrt{\bigl(\tfrac1{Z_1}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\sqrt3}{Z_0}\bigr)^2}.

Passo 6

A corrente que sai do neutro do autotransformador (sequência zero) é exatamente
I_{\mathrm{NAT}} = I_{0} = \Bigl|\;j\,\tfrac{\sqrt3}{2}\,\tfrac{E}{Z_{0}}\Bigr| = \frac{\sqrt3}{2}\,\frac{1}{|Z_{0}|}.

Passo 7

A corrente que circula dentro do enrolamento Δ do autotransformador é a resultante dos três ramos de sequência zero, que se fecham no delta. Logo
I_{\Delta_{\mathrm{AT}}} =3\,I_{0} =3\;\Bigl(j\,\tfrac{\sqrt3}{2}\,\tfrac{1}{Z_{0}}\Bigr) = j\,\frac{3\sqrt3}{2}\,\frac{1}{Z_{0}},
e em módulo
\bigl|I_{\Delta_{\mathrm{AT}}}\bigr| =\frac{3\sqrt3}{2}\,\frac{1}{|Z_{0}|}.

Resposta

\displaystyle I_F = 2\,(I_1+I_0) = \frac{1}{Z_1}+j\,\frac{\sqrt3}{Z_0},\quad I_{\mathrm{NAT}}=I_0=j\,\frac{\sqrt3}{2}\,\frac{1}{Z_0},\quad I_{\Delta_{\mathrm{AT}}}=3\,I_0=j\,\frac{3\sqrt3}{2}\,\frac{1}{Z_0}.

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