O sistema \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-z=0 \\\ x+2 y+4 z=0 \text { é: } \\\ x-14 z=0\end{array}\right.é
a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução ( 1,1,1 ).
d) Indeterminado.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 2x + 3y - z = 0,\\\ x + 2y + 4z = 0,\\\ x - 14z = 0, \end{cases}
e pede para classificar se ele é determinado (única solução), impossível (nenhuma solução) ou indeterminado (infinitas soluções), além de verificar se (1,1,1) seria solução.

Passo 2

Da terceira equação
x - 14z = 0
vemos que
x = 14z.
Chamando z = t, temos x = 14t.

Passo 3

Substituindo x = 14t na primeira equação
2x + 3y - z = 0
vem
2(14t) + 3y - t = 0 \quad\Longrightarrow\quad 28t - t + 3y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 27t + 3y = 0
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y = -9t.

Passo 4

Agora, substituindo x = 14t e y = -9t na segunda equação
x + 2y + 4z = 0
vemos
14t + 2(-9t) + 4t = 14t -18t +4t = 0,
que é uma identidade 0=0. Isso mostra que a segunda equação não impõe nova restrição.

Passo 5

A solução geral é
(x,y,z) = (14t,\,-9t,\,t),
com t\in\mathbb{R}. Há infinitas soluções, portanto o sistema é indeterminado. Além disso, (1,1,1) não satisfaz x=14z (pois 1\neq14), logo não é solução.

Resposta

(d) Indeterminado.

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