O sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y=a \\\ a^{2} x+y=1\end{array}\right. é impossível se e somente se:
a) a \neq 1 e a \neq-1
b) a=1 ou a=-1
c) a=1
d) a=-1
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + y = a,\\\ a^{2}x + y = 1, \end{cases}
e pede para determinar para quais valores de a o sistema é impossível (isto é, não tem solução). O conteúdo aqui é análise de consistência de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes e verificação da compatibilidade.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante.
Para que o sistema seja impossível, precisamos ter duas retas paralelas e distintas, ou seja, o determinante deve ser zero (linhas dependentes) e o vetor de constantes não pode satisfazer a mesma equação. Primeiro achamos quando \Delta=0:
1 - a^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1 \text{ ou } a = -1.
Passo 4
Agora, verificamos a consistência em cada caso:
Se a=1\), o sistema fica
\[\begin{cases} x + y = 1,\\\\ 1^{2}x + y = 1, \end{cases}que são duas vezes a mesma equação x+y=1\]. Logo há infinitas soluções (sistema possível e indeterminado).
- Se \(a=-1, o sistema fica\begin{cases} x + y = -1,\\\ (-1)^{2}x + y = 1, \end{cases}isto é,\begin{cases} x + y = -1,\\\ x + y = 1, \end{cases}que é contraditório. Portanto não há solução (sistema impossível).