O sistema linear: \left\{\begin{array}{l}x+\alpha y-2 z=0 \\\ x+y+z=1 \\\ x-y-z=3\end{array} \quad \square\right. não admite solução se \square for igual a:
a) 0
b) 1
c) -1
d) 2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro \alpha:
\begin{cases} x + \alpha y - 2z = 0,\\\ x + y + z = 1,\\\ x - y - z = 3. \end{cases}
O conteúdo aqui é estudar condições de existência de solução de um sistema linear dependente de parâmetro. Para resolver, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e usar o critério de Rouché–Capelli.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & -2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&-1\end{pmatrix} -\alpha\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&-1\end{pmatrix} =-1-(-1)=0,\quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =-1-1=-2.
Logo
\det(A) =1\cdot0-\alpha\cdot(-2)+(-2)\cdot(-2) =2\alpha+4 =2(\alpha+2).

Passo 3

Pelo teorema de existência e unicidade, o sistema não admite solução (fica inconsistente) se o posto da matriz dos coeficientes for menor que o posto da matriz aumentada. Aqui, um passo crítico é que, se \det(A)=0 mas a condição de compatibilidade falhar, não há solução. Aqui
\det(A)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha=-2,
e nesse caso a equação proveniente da eliminação dá 0\cdot z = 8, impossível. Para \alpha\neq-2, o sistema tem solução única.

Passo 4

Concluímos que o sistema não admite solução exatamente quando
\alpha=-2.
Como nenhuma das opções dadas ( 0,1,-1,2) coincide com -2, não há alternativa correta entre as fornecidas.

Resposta

O sistema só é inconsistente para \alpha=-2, logo nenhuma das alternativas listadas está correta.

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