Um sistema pistão-cilindro contém hélio (gás ideal) a 100kPa, 300 K que nessa condição ocupa um volume de
. O gás é comprimido até que a pressão atinja o valor de 300 kPa . Sabendo-se que nessa compressão o gás passa por um processo politrópico descrito pela relação
, onde
é constante, determine o calor trocado nesse processo.
Obs: Considere o calor específico a pressão constante do hélio
) e a volume constate
).
Obs: Considere o calor específico a pressão constante do hélio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema pistão-cilindro com hélio, que é um gás ideal. As condições iniciais são uma pressão de 100 kPa, temperatura de 300 K e volume de 0,2 m³. O gás é comprimido até a pressão chegar a 300 kPa, seguindo um processo politrópico descrito por $ PV^{1,1} = C $. Queremos descobrir quanto de calor foi trocado nesse processo. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como a lei dos gases ideais e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa de hélio no sistema. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ V $ é o volume
- $ m $ é a massa
- $ R $ é a constante dos gases para o hélio
- $ T $ é a temperatura
A constante dos gases $ R $ pode ser encontrada pela diferença entre $ c_p $ e $ c_v $:
Agora, rearranjamos a equação dos gases para achar a massa $ m $:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o volume final $ V_2 $ após a compressão. Sabemos que o processo é politrópico, então:
Onde $ n = 1,1 $. Podemos usar a relação entre volumes e pressões iniciais e finais:
Rearranjando para encontrar $ V_2 $:
Calculando:
Passo 4
Vamos determinar a temperatura final $ T_2 $ usando novamente a equação dos gases ideais:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado na compressão. Em um processo politrópico, o trabalho $ W $ é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular a variação da energia interna $ \Delta U $. Para isso, usamos:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a primeira lei da termodinâmica para encontrar o calor $ Q $ trocado:
Substituindo os valores:
Resposta
O calor trocado durante o processo é aproximadamente
.