Um sistema pistão-cilindro contém hélio (gás ideal) a 100kPa, 300 K que nessa condição ocupa um volume de 0,2 m^3. O gás é comprimido até que a pressão atinja o valor de 300 kPa . Sabendo-se que nessa compressão o gás passa por um processo politrópico descrito pela relação P V^1,1=C, onde C é constante, determine o calor trocado nesse processo.
Obs: Considere o calor específico a pressão constante do hélio cp=5193 J /(kg K ) e a volume constate cv=3116 J /(kg K ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema pistão-cilindro com hélio, que é um gás ideal. As condições iniciais são uma pressão de 100 kPa, temperatura de 300 K e volume de 0,2 m³. O gás é comprimido até a pressão chegar a 300 kPa, seguindo um processo politrópico descrito por $ PV^{1,1} = C $. Queremos descobrir quanto de calor foi trocado nesse processo. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como a lei dos gases ideais e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de hélio no sistema. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
PV = mRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ m $ é a massa
  • $ R $ é a constante dos gases para o hélio
  • $ T $ é a temperatura
A constante dos gases $ R $ pode ser encontrada pela diferença entre $ c_p $ e $ c_v $:
P
Agora, rearranjamos a equação dos gases para achar a massa $ m $:
V
Substituindo os valores:
m

Passo 3

Agora, vamos encontrar o volume final $ V_2 $ após a compressão. Sabemos que o processo é politrópico, então:
V2
Onde $ n = 1,1 $. Podemos usar a relação entre volumes e pressões iniciais e finais:
PV^n = C
Rearranjando para encontrar $ V_2 $:
n = 1,1
Calculando:
P1 V1^nP2 V2^n = 1

Passo 4

Vamos determinar a temperatura final $ T_2 $ usando novamente a equação dos gases ideais:
T2
Substituindo os valores:
T2 = P2 V2m R

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado na compressão. Em um processo politrópico, o trabalho $ W $ é dado por:
W
Substituindo os valores:
W = P2 V2 - P1 V11 - n

Passo 6

Vamos calcular a variação da energia interna $ \Delta U $. Para isso, usamos:
De
Substituindo os valores:
De
De

Passo 7

Finalmente, aplicamos a primeira lei da termodinâmica para encontrar o calor $ Q $ trocado:
Q
Substituindo os valores:
Q = De

Resposta

O calor trocado durante o processo é aproximadamente -5,94 , kJ.

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