Um sistema possui função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{s+a}{s^{4}+15 s^{3}+68 s^{2}+106 s+80}
Determine um valor real de a de modo que o sistema seja não controlável ou não observável.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{s+a}{s^{4}+15 s^{3}+68 s^{2}+106 s+80}
e pede um valor real de a tal que o sistema seja não controlável ou não observável.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador: } s+a,\qquad \text{denominador: } s^{4}+15 s^{3}+68 s^{2}+106 s+80.
Pergunta explícita: encontrar um valor real de a que torne o sistema não controlável ou não observável.

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): quando um polo do sistema (uma raiz do denominador) é exatamente cancelado por um zero (uma raiz do numerador), esse modo interno não aparece na função de transferência reduzida. Na prática isso significa que, se você implementar um modelo de ordem maior (contendo aquele polo), esse modo pode ficar “invisível” na saída (ou “inacessível” pela entrada) — ou seja, haverá perda de observabilidade ou de controlabilidade dependendo da realização. Em particular:
  • Para uma realização no formulário canônico controlável, a matriz B é projetada para garantir controlabilidade; portanto um polo cancelado por zero torna o modo não observável (o modo não aparece na saída).
  • Em suma: pole-zero cancellation causa falta de minimalidade e, portanto, ausência de observabilidade ou de controlabilidade em uma realização que mantenha o polo cancelado internamente.
Logo a estratégia prática: procurar valores de a tais que o zero do numerador s=-a coincida com uma raiz real do denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do denominador para achar suas raízes reais (faço as contas passo a passo, sem pular etapas).
Testo valores inteiros negativos (pois os coeficientes são todos positivos, raízes tendem a ser negativas):
Avalio o polinômio em s=-5:
(-5)^4+15(-5)^3+68(-5)^2+106(-5)+80 =625-1875+1700-530+80.
Calculando em partes:
625-1875=-1250,\quad -1250+1700=450,\quad 450-530=-80,\quad -80+80=0.
Logo s=-5 é raiz; portanto (s+5) é fator.
Faço a divisão do polinômio por (s+5) (síntese rápida):
coeficientes iniciais: [1,\;15,\;68,\;106,\;80] com raiz -5 dão quociente com coeficientes [1,\;10,\;18,\;16] e resto 0. Assim o denominador se escreve
s^{4}+15 s^{3}+68 s^{2}+106 s+80=(s+5)(s^{3}+10 s^{2}+18 s+16).
Agora procuro raízes do cúbico s^{3}+10 s^{2}+18 s+16. Testo s=-8:
(-8)^3+10(-8)^2+18(-8)+16=-512+640-144+16=0.
Logo s=-8 é raiz; divido o cúbico por (s+8). A divisão dá quociente s^{2}+2s+2. Portanto
s^{4}+15 s^{3}+68 s^{2}+106 s+80=(s+5)(s+8)(s^{2}+2s+2).
As raízes são, portanto, s=-5,\;s=-8 e as raízes do quadrático s^{2}+2s+2, que são complexas s=-1\pm j.

Passo 4

O zero do numerador ocorre em s=-a (pois numerador é s+a). Para haver cancelamento de polo e zero precisamos que s=-a coincida com alguma raiz do denominador. Das raízes encontradas, as reais são s=-5 e s=-8. Assim as opções reais para a que causam cancelamento são:
-a=-5\Rightarrow a=5,\qquad -a=-8\Rightarrow a=8.
Os outros dois polos são complexos ( -1\pm j), cujo cancelamento exigiria a complexo; como o problema pede a real, descartamos esses.

Passo 5

Interpretação e consequência prática (didática e calma): se escolhermos a=5, o fator (s+5) cancela, pois numerador s+5 e denominador contém (s+5); a função de transferência simplifica para
\text{(para }a=5\text{)}\quad G(s)=\frac{s+5}{(s+5)(s+8)(s^{2}+2s+2)}=\frac{1}{(s+8)(s^{2}+2s+2)}.
Isso mostra que, em termos input–output, o pólo em s=-5 deixou de aparecer: o sistema efetivamente tem ordem 3 vista pela função de transferência. Se alguém implementa um estado de ordem 4 (mantendo aquela dinâmica em s=-5), esse modo interno não aparecerá na saída — ou seja, ele será não observável (na realização canônica controlável típica). Analogamente, para a=8 ocorre cancelamento em s=-8 e a mesma conclusão vale para o polo em -8.
Resumindo: escolher a=5 ou a=8 produz pole-zero cancellation e, consequentemente, falta de minimalidade; em uma realização padrão (por exemplo, forma canônica controlável) isso se manifesta como falta de observabilidade daquele modo cancelado (o enunciado aceitava não controlável ou não observável, então esse comportamento satisfaz a condição pedida).

Resposta

a=5
a=8

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